Биномиальный ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции , заданной выражением где является произвольным комплексным числом, а |x| < 1. Ряд в явном виде,

 

 

 

 

(1)

и биномиальный ряд справа в формуле (1) является степенным рядом, выраженном в терминах (обобщённых) биномиальных коэффициентов

Специальные случаи[править | править код]

Если является неотрицательным целым числом n, то -й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель , так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую формулу бинома Ньютона.

Следующие выражения верны для любого комплексного , но они особенно полезны для работы с отрицательными целыми степенями в формуле (1):

Чтобы это доказать, подставим в выражение (1) и применим тождество для биномиальных коэффициентов

Сходимость[править | править код]

Условия сходимости[править | править код]

Сходится ли ряд в формуле (1), зависит значений комплексных чисел и x. Точнее:

  1. Если , ряд сходится абсолютно для любого комплексного .
  2. Если ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо , либо , где означает вещественную часть .
  3. Если и ряд сходится тогда и только тогда, когда .
  4. Если ряд сходится тогда и только тогда, когда либо , либо .
  5. Если ряд расходится, за исключением случая, когда — неотрицательное целое число (в этом случае ряд становится конечной суммой).

В частности, если не является отрицательным целым числом, ситуация на границе круга сходимости приведена ниже:

  • Если ряд сходится абсолютно.
  • Если ряд сходится условно, если , и расходится, если .
  • Если ряд расходится.

Тождества, используемые в доказательстве[править | править код]

Следующее выполняется для любого комплексного числа :

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

(3)

Если не является неотрицательным целым (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются, когда больше ), имеет место следующее асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в терминах «o» малое:

 

 

 

 

(4)

Это, фактически, эквивалентно определению Эйлера для гамма-функции:

откуда немедленно следуют грубые границы

 

 

 

 

(5)

для некоторых положительных констант m и M.

Формула (2) для обобщённых биномиальных коэффициентов может быть переписана как

 

 

 

 

(6)

Доказательство[править | править код]

Для доказательства (i) и (v) применим признак Д’Аламбера и используем формулу (2) выше, чтобы показать, что когда не является неотрицательным целым, радиус сходимости в точности равен 1. Утверждение (ii) следует из формулы (5) путём сравнения с обобщённым гармоническим рядом

с . Для доказательства (iii) сначала используем формулу (3), чтобы получить

 

 

 

 

(7)

а затем используем (ii) и снова формулу (5) для доказательства сходимости правой части, когда . С другой стороны, ряд не сходится, если and , снова по формуле (5). Иначе можно заметить, что для всех , . Тогда, по формуле (6), для всех . Это завершает доказательство утверждения (iii). Перейдём к (iv) и используем тождество (7) выше с и вместо , и используем формулу (4), чтобы получить

при . Утверждение (iv) следует теперь из асимптотического поведения последовательности . (А именно, определённо сходится к , если и расходится к , если . Если , то и сходится тогда и только тогда, когда последовательность , что определённо выполняется, если , но неверно, если ).

Суммирование биномиальных рядов[править | править код]

Обычный подход к вычислению суммы биномиального ряда следующий. Если продифференцировать почленно биномиальный ряд в круге сходимости и использовать формулу (1), можно получить, что сумма ряда является аналитической функцией, решающей Обыкновенное дифференциальное уравнение с начальным значением . Единственным решение этой задачи является функция , которая, поэтому, и является суммой биномиального ряда, по меньшей мере для . Равенство расширяется до , если ряд сходится, согласно следствию из теоремы Абеля и непрерывности .

История[править | править код]

Первые результаты о биномиальном ряде для неположительных целых степеней получены Исааком Ньютоном при изучении площадей, ограниченных определёнными кривыми. Джон Валлис нашёл на основе этой работы, рассматривая выражения вида , где m дробно, что (выражаясь современным языком) последующие коэффициенты при получаются путём умножения предыдущего коэффициента на (как в случае целых степеней), посредством чего дал формулу для этих коэффициентов. Он в явном виде записал следующие выражения[a]

Биномиальный ряд, поэтому, иногда называется биномиальной теоремой Ньютона. Ньютон не привёл никаких доказательств и никаких указаний о природе данного ряда. Позднее, в 1826 году Нильс Хенрик Абель обсуждал ряд в статье, опубликованной в журнале Крелле и рассмотрел важные вопросы сходимости[2].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. [1] На деле этот источник даёт все неконстантные отрицательные члены, что неверно для второго уравнения; следует считать это ошибкой цитирования.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]