Алгебраическая топология

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Алгебраи́ческая тополо́гия (устаревшее название: комбинаторная топология) — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т. д.), а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

Основные методы

[править | править код]

Методы алгебраической топологии основаны на предположении, что общеалгебраические структуры устроены проще, чем топологические.

Важным инструментом алгебраической топологии являются так называемые группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству соответствует в каждой размерности своя абелева группа гомологий , а каждому непрерывному отображению соответствует гомоморфизм групп , причём композиции отображений соответствует композиция гомоморфизмов , а тождественному отображению соответствует тождественный гомоморфизм . На языке теории категорий это означает, что -я группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп.

Помимо различных теорий гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например, теория бордизмов или -теория), для алгебраической топологии важны гомотопические группы . Из них главной является  — так называемая фундаментальная группа, которая, в отличие от групп всех других размерностей, может быть неабелевой.

Пример методики

[править | править код]

Одним из классических примеров применения методов алгебраической топологии является доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке. Утверждение теоремы состоит в том, что всякое непрерывное отображение замкнутого -мерного шара в себя обладает неподвижной точкой, то есть .

Для доказательства используется следующая лемма: не существует ретракции -мерного шара на свою границу, -мерную сферу (такого непрерывного отображения что для всех точек границы). В самом деле: если у отображения нет неподвижных точек, то возможно построить отображение шара на сферу, проведя для каждой точки шара луч, выходящий из и проходящий через (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки); пусть — точка пересечения луча со сферой , и . Отображение непрерывно, и если принадлежит сфере, то . Таким образом, получена ретракция шара на сферу, что по лемме невозможно. Следовательно, хотя бы одна неподвижная точка существует.

Для доказательства леммы предполагается, что существует такая ретракция . Для вложения сферы в шар выполнено следующее свойство: композиция отображений  — тождественное отображение сферы (вначале , затем ). Далее показывается, что , а . Тогда отображение будет отображением в 0, но, с другой стороны, так как , имеем  — является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом.

Известны и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся не связанными друг с другом.

Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны ещё Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многогранника с числом вершин , рёбер и граней имеет место .

Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман.

Но основную роль в создании алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре — именно ему принадлежат понятия симплициальных гомологий и фундаментальной группы. Большой вклад внесли Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Эйленберг, Серр, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Милнор, Квиллен; из советских/российских математиков необходимо отметить П. С. Александрова, Колмогорова, Понтрягина, Люстерника, Рохлина, Новикова, Фоменко, Концевича, Воеводского, Перельмана.

Литература

[править | править код]
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии Архивная копия от 19 февраля 2012 на Wayback Machine
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
  • Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006
  • Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
  • Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989
  • Хатчер А., Алгебраическая топология — М.: МЦМНО, 2011. (Оригинал: Hatcher A. Algebraic Topology Архивная копия от 19 мая 2018 на Wayback Machine)