Число

Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры.

Основные классы чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается $\mathbb {N}$. Т.е. $\mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}$ (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть $\mathbb {N} =\left\{0,1,2,3,...\right\}$). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Важным подмножеством натуральных чисел являются простые числа $\mathbb {P} .$ Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Ряд простых чисел начинается так: $2,3,5,7,11,13,17,...$ Любое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения степеней простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Например, 121968=2⁴·3²·7·11².

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются $\mathbb {Z} =\left\{...-2,-1,0,1,2,...\right\}$. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак $\mathbb {Q}$ (от лат. quotient).

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается $\mathbb {R}$. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величины. Кроме рациональных чисел, $\mathbb {R}$ включает множество иррациональных чисел $\mathbb {I}$, не представимых в виде отношения целых.

Комплексные числа $\mathbb {C}$, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде $z=x+iy$, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^{2}=-1$. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: $\mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .$

Обобщения чисел

Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. Множество кватернионов обозначается $\mathbb {H}$. Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.

В свою очередь октавы $\mathbb {O}$, являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.

В отличие от октав, седенионы $\mathbb {S}$ не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.

Для этих множеств обобщённых чисел справедливо следующее выражение: $\mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S}$

p-адические числа $\mathbb {Q} _{p}$ можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ при помощи т. н. p-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел $\mathbb {R}$ определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.

Аде́ли определяются как бесконечные последовательности {a_∞,a₂,a₃,…a_p…}, где a_∞ — любое действительное число, а a_p — p-адическое, причём все a_p, кроме, может быть, конечного их числа, являются целыми p-адическими. Складываются и умножаются адели покомпонентно и образуют кольцо. Поле рациональных чисел вкладывается в это кольцо обычным образом r→{r, r,…r,…}. Обратимые элементы этого кольца образуют группу и называются иде́лями.

Практически важным обобщением числовой системы является интервальная арифметика.

Представление чисел в памяти компьютера

подробнее см. Прямой код, Дополнительный код (представление числа), Число с плавающей запятой

Для представления натурального числа в памяти компьютера, оно обычно переводится в двоичную систему счисления. Для представления отрицательных чисел используется т. н. дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление действительных чисел в памяти компьютера имеет некоторые ограничения связанные с используемой системой счисления, а также ограниченностью объёма памяти, выделяемого под числа. Действительные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. При этом лишь некоторые из действительных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа.

См. также

• Числа
• Числа с собственными именами
• Теория чисел
• Системы наименования чисел
• Системы счисления
• Обратное число
• Псевдослучайное число
• Алгебраические числа
• Нумерология

Литература

• А. А. Кириллов, Что такое число?, выпуск 4 серии «Современная математика для студентов», М., Физматлит, 1993.
• Л. С. Понтрягин, Обобщения чисел, серия «Математическая библиотечка» М., Наука, 1965.
• Л. Я. Жмудь. «Все есть число»? (К интерпретации «основной доктрины» пифагореизма) // Mathesis. Из истории античной науки и философии. М., 1991, с. 55-74.

Ссылки

• Вокруг света: Какое число самое большое?
• Грамота.ру: История происхождения слов «число» и «цифра», статья из журнала «Наука и жизнь»

$1,\;2,\;\ldots$ Натуральные числа $-1,\;0,\;1,\;\ldots$ Целые числа $-1,\;1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;{\frac {2}{3}},\;\ldots$ Рациональные числа $-1,\;1,\;0{,}12,\;{\frac {1}{2}},\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots$ Вещественные числа $-1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots$ Комплексные числа $1,\;i,\;j,\;k,\;2i+\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots$ Кватернионы $1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2-5l+{\frac {\pi }{3}}m,\;\dots$ Октонионы

$1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}-{\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots$

Седенионы