Сплайн Эрмита

Кубический эрмитов сплайн — сплайн, построенный из кубических полиномов с использованием эрмитовой интерполяции, в соответствии с которой интерполируемая функция задается не только своими значениями в n точках, но и ее первыми производными. Для заданной интерполяционной сетки $x_k$ для $k=1,...,n$, и заданного значения независимой переменной x вычисление функции проводится в соответствующем интервале $(x_k, x_{k+1})$ с известными граничными значениями функции p и ее производной m.Для упрощения вычислений делается замена независимой переменной x на независимую переменную t по формуле $t = (x-x_k)/(x_{k+1}-x_k)$.В результате такой замены левая граница интервала становится равной 0, а правая 1. Кубический полином, служащий для вычисления интерполируемой функции в соответствующем интервале имеет вид:

$\boldsymbol{p}(t) = (2t^3-3t^2+1)\boldsymbol{p}_k + (t^3-2t^2+t)\boldsymbol{m}_k + (-2t^3+3t^2)\boldsymbol{p}_{k+1} +(t^3-t^2)\boldsymbol{m}_{k+1}$

В вышеприведенной формуле значения производных относятся к независимой переменной t. Для их вычисления необходимо исходные значения производных умножить на длины интервалов $x_{k+1}-x_k$. Как следует из формулы, значение интерполируемой функции вычислятся с помощью четырех кубических полиномов $h_{00}(t),h_{10}(t),h_{01}(t),h_{11}(t)$. Эти полиномы отнюдь не являются классическими полиномами Эрмита, как об этом сказано в англоязычной версии статьи. На практике обычно известны лишь значения функции в узловых точках, но не значения первой производной. Для вычисления значений первой производной используются различные способы. Простейшим является вычисление среднего арифметического значения разделенных первых разностей на двух соседних интервалах.

$\boldsymbol{m}_k = \frac{\boldsymbol{p}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k}}{2(t_{k+1}-t_{k})} + \frac{\boldsymbol{p}_{k}-\boldsymbol{p}_{k-1}}{2(t_{k}-t_{k-1})}$

В так называемом кардинальном сплайне используется формула

$\boldsymbol{m}_k = (1-c)\frac{\boldsymbol{p}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k-1}}{t_{k+1}-t_{k-1}}$

В этой формуле параметр c изменяется от 0 до 1. В соответствии с этой формулой производная в середине отрезка равняется разделенной первой разностью на всем отрезке, умноженной на некий коеффициент. В случае с=0 формула называется Catmull–Rom сплайн.

См. также

• Бикубическая интерполяция
• Шарль Эрмит

Литература

Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — 604 с. — ISBN 5-03-002143-4