Кривая Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кривая Ферма — алгебраическая кривая на комплексной проективной плоскости (англ.)русск., определяемая в однородных координатах (X:Y:Z) уравнением Ферма

X^n + Y^n = Z^n.\

Применительно к евклидовой плоскости уравнение имеет вид

x^n + y^n = 1.\

Целочисленное решение уравнения Ферма соответствует ненулевому рациональному решению евклидова уравнения и наоборот. Согласно теореме Ферма при n ≥ 3 не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения Ферма, поэтому кривая ферма не имеет ненулевых рациональных точек.

Кривая Ферма несингулярна (англ.)русск. и имеет род (англ.)русск.

(n - 1)(n - 2)/2.\

Таким образом, кривая Ферма имеет род 0 для n = 2 (и является коническим сечением) и род 1 для n = 3 (и является эллиптической кривой). Якобиево многообразие (англ.)русск. кривой Ферма глубоко изучено. Оно изоморфно произведению простых абелевых многообразий с комплексным умножением (англ.)русск..

Существует обобщение кривой Ферма на большее число измерений; в этом случае уравнения, аналогичные уравнению кривой Ферма, определяют проективное многообразие, называемое многообразием Ферма.

Ссылки[править | править вики-текст]