Эвольвента

Эвольвенты окружности. Являются частью профиля в зубчатом колесе с эвольвентным зацеплением.

Анимация построения эвольвенты окружности

Эвольвента (от лат. evolvens — разворачивающий) плоской линии $L$ — это линия $L_*$, по отношению к которой $L$ является эволютой. Иными словами, это кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой.

Если линия $L$ задана уравнением $\bar{r} = \bar{r}(s)$ ($s$ — натуральный параметр), то уравнение свойства её эвольвенты имеет вид

$\bar{\psi} = \bar{r} + (\alpha - s)\dot{\bar{r}}$,

где $\alpha$ — произвольный параметр.

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

$X=x-\frac{x'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$

$Y=y-\frac{y'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$

Пример

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её уравнения имеют следующий вид:

$~x = r (\cos(t)+t\sin(t))$

$~y = r (\sin(t)-t\cos(t))$

где $t$ — угол, a $r$ — радиус

Эвольвента цепной линии

Применения

• В технике эвольвенту окружности используют как профиль зуба для колёс зубчатой передачи.

См. также

• Эволюта
• Эвольвентное зацепление
• Параллельная кривая
• Каустика
• Развёртка