Квадратриса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Рис. 1. Кинематическое определение квадратрисы
Рис. 2. То же с анимацией

Квадратриса — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.

Кинематическое определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка E равномерно движется по дуге от точки D до точки B; одновременно отрезок A'B' равномерно движется из положения DC в положение AB. Наконец, потребуем, чтобы оба движения начались и закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A'B' опишет квадратрису (рис. 2, выделена красным цветом).

История[править | править вики-текст]

Первое упоминание о квадратрисе сделали Папп Александрийский[1] и Ямвлих в конце III века. Папп дал и подробное описание способов её построения. Кривая открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием в V веке до н. э. и использовалась им для решения задачи трисекции угла. Другой античный геометр, Динострат, провёл в IV веке до н. э. исследование этой кривой и показал, что она обеспечивает также решение задачи квадратуры круга. В источниках данную кривую называют «квадратрисой Динострата» или «квадратрисой Гиппия»[2].

В Новое время кривую исследовали Роберваль (1636), Ферма, Барроу (1670) и другие известные математики. Декарт посвятил исследованию квадратрисы немало страниц в своей «Геометрии» (1637). Ньютон в 1676 году определил длину дуги квадратрисы, её кривизну и площадь её сегмента в виде ряда, а также указал способ проведения касательных[3].

Уравнения кривой[править | править вики-текст]

\rho=\frac{2R}{\pi}\frac{\varphi}{\sin \varphi}.
x=y\,\operatorname{ctg}\frac{\pi y}{2R}

Основное свойство[править | править вики-текст]

Уравнение квадратрисы в полярных координатах можно записать в виде:

\rho \sin \varphi = \frac{2R}{\pi} \varphi, или: y = k \varphi,

где k =\frac{2R}{\pi}. Отсюда следует основное свойство данной кривой[4]:

Ординаты любых двух точек квадратрисы относятся, как полярные углы этих точек: \frac{y_1}{y_2} = \frac{\varphi_1}{\varphi_2}.

Квадратриса — единственная (невырожденная) кривая в первом координатном квадранте, обладающая таким свойством (это легко доказать, повторив приведенные рассуждения в обратном порядке).

Другие свойства[править | править вики-текст]

Площадь сегмента ADFG квадратрисы определяется формулой[5]:

S = \frac{2R^2 \ln 2}{\pi}

Применение[править | править вики-текст]

Трисекция угла[править | править вики-текст]

Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть EAB (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:

  1. Находим точку F на квадратрисе и её ординату A'.
  2. Откладываем на отрезке AA' его третью часть; получим некоторую точку H.
  3. Находим на квадратрисе точку K с ординатой H.
  4. Проводим луч AK. Угол KAB — искомый.

Доказательство данного алгоритма сразу следует из основного свойства квадратрисы. Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей[6].

Квадратура круга[править | править вики-текст]

Рис. 3. Схема квадратуры круга с помощью квадратрисы

Задача квадратуры круга ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса R. Алгебраически это означает решение уравнения: x^2=\pi R^2.

Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Используя первый замечательный предел, получаем, что абсцисса AG её нижней точки равна \frac {2R} {\pi}. Выразим это в виде пропорции: C:2R=2R:AG, где C = 2 \pi R — длина окружности. Приведенное соотношение позволяет построить отрезок длины C. Прямоугольник со сторонами R и C/2 будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное, см. статью Квадратура (математика) или рис. 3.

Вариации[править | править вики-текст]

Помимо рассмотренной выше квадратрисы Динострата, существует ряд иных кривых, которые можно использовать для квадратуры круга, и поэтому также называемых квадратрисами[5].

y=a \sin \frac{\pi x}{2a}
x=2 a \sin^2 \frac{y}{2a}
Рис. 4. График «полной» квадратрисы при R=1

Кроме того, ряд авторов предпочитают поменять местами x и y в уравнении квадратрисы Динострата[7]:

y=x\,\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{2R}

Этот вариант (полная квадратриса) имеет то преимущество, что функция y(x) определена на всей вещественной оси, кроме особых точек \pm 2 R, \pm 4 R, \pm 6 R \dots, см. её график при R=1 на рис. 4. В полярных координатах центральная ветка данного варианта кривой описывается формулой[7]:

\rho=\frac{R}{\pi} \cdot \frac{\pi-2 \varphi}{\cos \varphi}

Данная кривая имеет бесконечное число ветвей, для которых вертикальные прямые в особых точках являются асимптотами. Точки кривой с ординатой y=\frac{2R}{\pi} являются точками перегиба[7].

Кроме приведенного выше кинематического, существует чисто геометрическое построение квадратрисы. Рассмотрим пересечение витка геликоида с плоскостью, содержащей ось этой поверхности. Тогда проекция линии пересечения на плоскость, перпендикулярную оси, представляет собой ветку полной квадратрисы[5].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Папп Александрийский. Математическое собрание, книга IV.
  2. Савелов А. А., 1960, с. 227.
  3. Исаак Ньютон. Математические работы / Перевод и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — С. 31, 87—89, 99, 166, 227, 287. — 452 с. — (Классики естествознания).
  4. Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 34—35.
  5. 1 2 3 Савелов А. А., 1960, с. 230.
  6. Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 35—37.
  7. 1 2 3 Савелов А. А., 1960, с. 228.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]