Квадратриса
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Квадратриса (или Квадратрисса) — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием (V век до н. э.), использовалась в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.
Содержание |
[править] Кинематическое определение
Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка E равномерно движется по дуге от точки D до точки B; одновременно отрезок A'B' равномерно движется из положения DC в положение AB. Наконец, потребуем, чтобы оба движения закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A'B' опишет квадратрису (выделена красным цветом).
[править] Уравнения кривой
| Вывод |
|---|
Выведем уравнение квадратрисы в полярных координатах. Пусть R — радиус круга,  — текущий угол FAG, ρ = AF — полярный радиус. Для удобства введём время t, которое за период движения меняется от 0 до 1. Тогда равномерное движение точки E по дуге длиной  можно выразить уравнением:
Равномерное движение отрезка A'B' выражается уравнением: Исключая из уравнений 1 − t, получаем окончательно: |
- в прямоугольных координатах можно записать уравнение квадратрисы в следующем виде:
| Вывод |
|---|
| Приводим уравнение в полярных координатах к виду:
Учитывая Из геометрических соображений: Берём тангенс от обеих частей: то есть |
, получаем
. Тогда уравнение предстанет в виде:
[править] Трисекция угла
Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть EAB (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:
- Находим точку F на квадратрисе и её ординату A'.
- Откладываем на отрезке AA' его третью часть; получим некоторую точку H.
- Находим на квадратрисе точку K с ординатой H.
- Проводим луч AK. Угол KAB — искомый.
Доказательство данного алгоритма сразу следует из равномерности обоих движений, образующих квадратрису.
Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей.
[править] Квадратура круга
Здесь задача ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса R. Алгебраически это означает решение уравнения: x2 = πR2.
Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Можно показать, что абсцисса AG её нижней точки равна 
. Выразим это в виде пропорции: C:2R = 2R:AG, где C = 2πR — длина окружности. Приведенное соотношение позволяет построить отрезок длины C. Прямоугольник со сторонами R и C / 2 будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное.
[править] См. также
[править] Литература
- Жуков А. В.. «О числе π». М.: МЦМНО, 2002 г., 32 с ISBN 5-94057-030-5
- Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
- Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата // Историко-математические исследования. СПб., 1994. Вып. 35. С. 220—229.
- Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
- Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? Математическое образование, № 4 (48), 2008, с. 3–15.
[править] Ссылки
- Quadratrix of Hippias at the MacTutor archive.
- Quadratrix of Hippias at Convergence.
