Эта статья входит в число добротных статей

Квадратриса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Рис. 1. Кинематическое определение квадратрисы
Рис. 2. То же с анимацией

Квадратриса — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.

Определение[править | править вики-текст]

Кинематическое определение квадратрисы следующее: рассмотрим квадрат ABCD (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка E равномерно движется по дуге от точки D до точки B; одновременно отрезок A'B' равномерно движется из положения DC в положение AB. Наконец, потребуем, чтобы оба движения начались и закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A'B' опишет квадратрису (рис. 2, выделена красным цветом).

Античные математики предубеждённо относились к кинематическим определениям кривых, считая их недостойными геометрической науки. Поэтому они предложили два других определения, не использующих понятия механического движения; эти определения приведены в сочинениях Паппа Александрийского и представляют квадратрису как проекцию некоторых кривых, связанных с винтовой линией или спиралью Архимеда[1]. Построения эти довольно сложны и на практике не используются. В Новое время были обнаружены и другие построения, где возникает квадратриса; например, рассмотрим пересечение витка геликоида с плоскостью, содержащей ось этой поверхности. Тогда проекция линии пересечения на плоскость, перпендикулярную оси, представляет собой ветку квадратрисы[2].

История[править | править вики-текст]

Первое упоминание о квадратрисе сделали Папп Александрийский[3] и Ямвлих в конце III века. Папп дал и подробное описание способов её построения. Кривая открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием в V веке до н. э. и использовалась им для решения задачи трисекции угла. Другой античный геометр, Динострат, провёл в IV веке до н. э. исследование этой кривой и показал, что она обеспечивает также решение задачи квадратуры круга. В источниках данную кривую называют «квадратрисой Динострата» или «квадратрисой Гиппия»[4].

В Новое время кривую исследовали Роберваль (1636), Ферма, Барроу (1670) и другие известные математики. Декарт посвятил исследованию квадратрисы немало страниц в своей «Геометрии» (1637)[5]. Ньютон в 1676 году определил длину дуги квадратрисы, её кривизну и площадь её сегмента в виде ряда, а также указал способ проведения касательных[6].

Уравнения кривой[править | править вики-текст]

\rho=\frac{2R}{\pi}\frac{\varphi}{\sin \varphi}.
x=y\,\operatorname{ctg}\frac{\pi y}{2R}

Основное свойство[править | править вики-текст]

Уравнение квадратрисы в полярных координатах можно записать в виде:

\rho \sin \varphi = \frac{2R}{\pi} \varphi, или: y = k \varphi,

где k =\frac{2R}{\pi}. Отсюда следует основное свойство данной кривой[7]:

Ординаты любых двух точек квадратрисы относятся, как полярные углы этих точек: \frac{y_1}{y_2} = \frac{\varphi_1}{\varphi_2}.

Квадратриса — единственная (невырожденная) кривая в первом координатном квадранте, обладающая таким свойством (это легко доказать, повторив приведенные рассуждения в обратном порядке).

Другие свойства[править | править вики-текст]

Площадь сегмента ADFG квадратрисы определяется формулой[2]:

S = \frac{2R^2 \ln 2}{\pi}

Применение[править | править вики-текст]

Трисекция угла[править | править вики-текст]

Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть EAB (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:

  1. Находим точку F на квадратрисе и её ординату A'.
  2. Откладываем на отрезке AA' его третью часть; получим некоторую точку H.
  3. Находим на квадратрисе точку K с ординатой H.
  4. Проводим луч AK. Угол KAB — искомый.

Доказательство данного алгоритма сразу следует из основного свойства квадратрисы. Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей[8].

Квадратура круга[править | править вики-текст]

Рис. 3. Схема квадратуры круга с помощью квадратрисы

Задача квадратуры круга ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса R. Алгебраически это означает решение уравнения: x^2=\pi R^2.

Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Используя первый замечательный предел, получаем, что абсцисса AG её нижней точки равна \frac {2R} {\pi}. Выразим это в виде пропорции: C:2R=2R:AG, где C = 2 \pi R — длина окружности. Приведенное соотношение позволяет построить отрезок длины C. Прямоугольник со сторонами R и C/2 будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное, см. статью Квадратура (математика) или рис. 3.

Вариации[править | править вики-текст]

Помимо рассмотренной выше квадратрисы Динострата, существует ряд иных кривых, которые можно использовать для квадратуры круга, и поэтому также называемых квадратрисами[2].

y=a \sin \frac{\pi x}{2a}
x=2 a \sin^2 \frac{y}{2a}
Рис. 4. График «полной» квадратрисы при R=1

Кроме того, ряд авторов предпочитают поменять местами x и y в уравнении квадратрисы Динострата[9]:

y=x\,\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{2R}

Этот вариант (полная квадратриса) имеет то преимущество, что функция y(x) определена на всей вещественной оси, кроме особых точек \pm 2 R, \pm 4 R, \pm 6 R \dots (В точке x=0 функция y(x) доопределяется предельным переходом; см. её график при R=1 на рис. 4.) В полярных координатах центральная ветка данного варианта кривой описывается формулой[9]:

\rho=\frac{R}{\pi} \cdot \frac{\pi-2 \varphi}{\cos \varphi}

Данная кривая имеет бесконечное число ветвей, для которых вертикальные прямые в особых точках являются асимптотами. Точки кривой с ординатой y=\frac{2R}{\pi} (за исключением точки на оси ординат) являются точками перегиба[9].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Прасолов В. В., 1992, с. 58—61.
  2. 1 2 3 Савелов А. А., 1960, с. 230.
  3. Папп Александрийский. Математическое собрание, книга IV.
  4. Савелов А. А., 1960, с. 227.
  5. Прасолов В. В., 1992, с. 61—62.
  6. Исаак Ньютон. Математические работы / Перевод и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — С. 31, 87—89, 99, 166, 227, 287. — 452 с. — (Классики естествознания).
  7. Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 34—35.
  8. Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 35—37.
  9. 1 2 3 Савелов А. А., 1960, с. 228.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]