Эпициклоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Эпицикло́ида (от греч. ὲπί — на, над, при и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по другой окружности.

[править] Уравнения

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен R, радиус катящейся по ней окружности равен r, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно \varphi:

\begin{cases} x = (R + r)\cos\varphi - r\cos(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \\ y = (R + r)\sin\varphi - r\sin(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \end{cases}

где α — угол поворота эпициклоиды относительно центра неподвижной окружности, \varphi — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX.

Можно ввести величину \textstyle k=\frac{R}{r}, тогда уравнения предстанут в виде

\begin{cases} x = r (k+1) \left( \cos \varphi- \frac{\cos((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \\ y = r (k+1) \left( \sin \varphi- \frac{\sin((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \end{cases}

Величина k определяет форму эпициклоиды. При k = 1 эпициклоида образует кардиоиду, а при k = 2 — нефроиду.

Эпициклоиды при разных значениях параметра k:

k = 1 (кардиоида)

k = 2 (нефроида)

k = 3

k = 4

k = 2.1 = \frac{21}{10}

k = 3.8 = \frac{19}{5}

k = 5.5 = \frac{11}{2}

k = 7.2 = \frac{36}{5}

[править] Ссылки

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BF%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0»