Лемниската

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Лемниската (от лат. lemniscatus — украшенный лентами) — плоская алгебраическая кривая порядка 2n, у которой произведение расстояний от каждой точки до n заданных точек (фокусов) постоянно.

Содержание 1 Примеры 2 Свойства 3 См. также 4 Литература

[править] Примеры

• Лемнискатой с одним фокусом (n = 1) является окружность радиуса r, а с двумя фокусами — овал Кассини.
• Частным случаем овала Кассини является лемниската Бернулли, по имени швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало изучению лемнискат.

[править] Свойства

• Уравнение лемнискаты на комплексной плоскости

• Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний, например, очертания человеческой головы или птицы. Имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число фокусов F₁, F₂, …, F_n, их расположение и назначить такую величину p для неизменного произведения расстояний , что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, произвольную кривую можно приблизить последовательностью леминискат.

[править] См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Бернулли
• Овал Кассини
• Плоская кривая
• Алгебраическая кривая

[править] Литература

• Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 3 Коо-Од, стр. 234.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.

п·о·р Кривые
Плоские кривые
Алгебраические
Конические сечения (2-й порядок)	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
Эллиптические (3-й порядок)	Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции
Лемнискаты (2n порядок)	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные кривые	Сплайны (B-сплайн · Кубический сплайн · Моносплайн · Сплайн Эрмита) • Кривая Безье
Другие (в скобках указан порядок)	Верзьера Аньези (3) • Декартов лист (3) • Полукубическая парабола (3) • Строфоида (3) • Циссоида Диокла (3)
Трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные (порождённые катящейся окружностью)	Циклоида • Эпициклоида (Кардиоида · Нефроида) • Гипоциклоида (Дельтоида (кривая Штейнера) · Астроида) • Трохоида (Удлинённая циклоида · Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая эпициклоида · Укороченная эпициклоида · Улитка Паскаля · «Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Фрактальные	Кривая Коха • Кривая Леви • Кривая Минковского • Кривая Пеано • Топологически: салфетка и ковёр Серпинского, губка Менгера
Другие	Квадратриса • Кривая погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Кривая Безье • Кривая постоянной ширины • Синусоида
Неплоские кривые
Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Связанные понятия
Определения кривой	Аналитическая кривая • Кривая Жордана • Канторова кривая • Кривая Урысона
Преобразованные кривые	Эволюта • Эвольвента • Каустика