Циклоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Катящаяся окружность рисует циклоиду

Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής — круглый) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.

Уравнения[править | править исходный текст]

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r.

  • Циклоида описывается параметрически
    x = rt - r \sin t,
    y = r - r \cos t.
  • Уравнение в декартовых координатах:
    x=r \arccos \frac {r-y}{r} - \sqrt{2ry-y^2}
  • Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:
    \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2\pi r. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t=2\pi k, где k — произвольное целое число.
  • Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
  • Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
  • Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли сообщил, что этот факт Галилей открыл экспериментально: сравнил вес пластинок с кругом и с аркой циклоиды.[1] Математически этот факт первым доказал Роберваль около 1634 года с помощью метода неделимых.
  • Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен 4r \sin\frac{t}{2}.
Таутохронность циклоиды

Исторический очерк[править | править исходный текст]

Первыми из учёных обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель (фр. Charles de Bovelles, 1479—1566) в труде 1501 года. Но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.

Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн. Среди трансцендентных кривых, то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от x, y, циклоида — первая из исследованных.

Паскаль писал о циклоиде:

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.

Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых.

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб: ЛКИ, 2008. — С. 213. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4

См. также[править | править исходный текст]