Астроида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Астроида
Построение астроиды

Астро́ида (от греч. αστρονзвезда и ειδοςвид, то есть звездообразная) — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R=4r. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем k=4.

История[править | править вики-текст]

Название кривой предложил австрийский астроном Карл Людвиг фон Литров в 1838 г.

Уравнения[править | править вики-текст]

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}\,

Параметрическое уравнение:[1]

x = R\cos^3 t; \quad y = R\sin^3 t\,

Астроида также является алгебраической кривой рода 1 (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

(x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0\,

Свойства[править | править вики-текст]

  • Имеются четыре каспа.
  • Длина дуги от точки с 0 до t\le \pi/2
l=\frac32R\sin^2t
  • Длина всей кривой 6R.
  • Радиус кривизны:
r(t)=\frac32R\sin2t
  • Площадь, ограниченная кривой:
S=\frac{3}{8} \pi R^2
  • Объем тела вращения относительно любой координатной оси:
V=\pi \int \limits_{-R}^{R}\left (R^{2/3} - x^{2/3}\right )^3 \, dx = \frac {32}{105}\,\pi R^3
  • Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
  • Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
  • Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипса.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Уравнение в прямоугольных координатах следует из параметрического уравнения и основного тригонометрического тождества. Вывод параметрического уравнения такой. Возьмем уравнение гипоциклоиды, подставим k=4. Синус/косинус тройного угла разложим по формуле синуса/косинуса суммы, то же для синуса/косинуса двойного угла. Учтем R=4r и получим наши уравнения.
  • Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.