1 (число)

Символ со сходным начертанием: ᛐ

Эта статья — о числе 1. О других значениях см. Единица, 1 (значения) и Один (значения).

1
один
← −1 · 0 · 1 · 2 · 3 →
Разложение на множители	единица
Римская запись	Ⅰ
Двоичное	1
Восьмеричное	1
Шестнадцатеричное	1
Греческое	α'
Арабское, Персидское, Урду	١
Асамидское и Бенгальское	১
Китайское	一
Деванагари	१
Эфиопское	፩
Грузинское	ა
Еврейское	א
Японское	一
Каннада	೧
Кхмерское	១
Малаяльское	൧
Тайское	๑
Тамильское	௧
Телугу	೧
Медиафайлы на Викискладе

1 (оди́н) — наименьшее натуральное число, целое число между 0 и 2.

Обозначение

В математике инков единица обозначалось в кипу в виде одного узла на свисающей нити. В кириллической записи чисел единица обозначалась буквой а (азъ). Арабскими цифрами единица записывается как «1».

Свойства

Единица — единственное положительное число, которое равно своему обратному. Поэтому привело к одному из основных понятий в теории групп — нейтральному элементу, часто называемому просто единицей группы.

Для любого числа x:

x·1 = 1·x = x (см.: умножение).

x/1 = x (см.: деление)

x¹ = x, 1^x = 1, и для ненулевого числа x, x⁰ = 1 (см.: возведение в степень)

x↑↑1 = x и 1↑↑x = 1 (см.: суперстепень).

Число 1 не может быть самостоятельно использовано как основа позиционной системы счисления, но существует унарная система счисления, которая основана на многократном суммировании единицы, обозначаемой единственной цифрой в унарной системе, и, соответственно, является непозиционной. Поскольку квадрат, куб и любая другая степень числа 1 равняется единице, логарифмы по основанию 1 от числа, не равного 1, не существуют. Логарифм числа 1 по основанию 1 также не определён, так как за его значение может быть принято любое число.

В настоящее время в математике принято не относить единицу ни к простым, ни к составным числам, так как это нарушает важную для теории чисел единственность разложения на простые множители. Последним из профессиональных математиков, кто рассматривал 1 как простое число, был Анри Лебег в 1899 году.

Число 1 — наименьшее натуральное число, большее нуля (является ли нуль натуральным числом — зависит от принятых соглашений). Иногда за определение 1 принимают утверждение «при умножении единицы на любое другое число в результате получается это же число», а натуральные числа определяют, исходя из определений единицы и операции сложения.

Единица также используется в тождестве Эйлера — математическом соотношении пяти констант математики — собственно единицы, нуля, e, π и i:

$e^{\pi i}+1=0.$

Числом 1 также оказалась константа Лежандра. Изначально сам Лежандр высказал гипотезу о том, что она равна примерно 1,08366, но впоследствии Чебышёв, а затем Валле-Пуссен и Пинтц доказали элементарность этого числа, и константа Лежандра стала иметь лишь историческую ценность.

История

Ряд знаменитых учёных Древней Греции рассматривали каждое из натуральных чисел как собрание единиц; сама же единица числом не считалась. В XVII веке Декарт и Ньютон приняли в своих трудах более современную точку зрения на сущность числа. Ньютон в трактате «Универсальная арифметика» писал:

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.

Оригинальный текст (лат.)[показатьскрыть]

Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur rationem intelligimus.

В XX веке понятие числа окончательно отделилось от операции измерения и рассматривается как чисто математический объект, свойства которого задаются набором аксиом.

Вариации и обобщения

Единица — единственное положительное число, которое равно своему обратному. Поэтому обобщение этого свойства привело к одному из основных понятий в теории групп — понятию нейтрального элемента, который часто называют просто единицей группы.

Единица является автоморфным числом в любой позиционной системе счисления.

В представлении фон Неймана для натуральных чисел единица определяется как множество {0}. Это множество имеет кардинальность 1 и наследственный ранг 1. Такие множества с единственным элементом называются синглетонами.

См. также

• 0,(9)
• Унарная система счисления

Литература

• Единица // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 113-114. — 352 с.
• Ламберто Гарсия дель Сид. Первые натуральные числа и их значение → 1 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — De Agostini, 2014. — Т. 21. — С. 15-16. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
• David Wells. 1 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — Penguin Books, 1986. — С. 30-32. — 229 с. — ISBN 0-14-008029-5.

Ссылки

• Единица // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.