Двадцатичетырёхъячейник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Двадцатичетырёхъячейник
Schlegel wireframe 24-cell.png
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) двадцатичетырёхячейника в трёхмерное пространство
Тип Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли {3,4,3}
Ячеек 24
Граней 96
Рёбер 96
Вершин 24
Вершинная фигура Куб
Двойственный политоп Он же (самодвойственный)
Проекция вращающегося двадцатичетырёхъячейника в трёхмерное пространство

Пра́вильный двадцатичетырёхъяче́йник, или просто двадцатичетырёхъяче́йник, или икоситетрахор (от др.-греч. εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[1]. Символ Шлефли двадцатичетырёхъячейника — {3,4,3}.

Двойственен сам себе; двадцатичетырёхъячейник — единственный самодвойственный правильный политоп размерности больше 2, не являющийся симплексом. Этим обусловлена уникальность двадцатичетырёхъячейника: в отличие от пяти других правильных многоячейников, он не имеет аналога среди платоновых тел.

Описание[править | править код]

Ограничен 24 трёхмерными ячейками — одинаковыми октаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности

Его 96 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 96 рёбер равной длины, расположенных так же, как рёбра трёх тессерактов с общим центром. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 24 вершины, расположенные так же, как вершины трёх шестнадцатиячейников с общим центром. В каждой вершине сходятся по 8 рёбер, по 12 граней и по 6 ячеек.

Двадцатичетырёхъячейник можно рассматривать как полностью усечённый шестнадцатиячейник.

Двадцатичетырёхъячейник можно собрать из двух равных тессерактов, разрезав один из них на 8 одинаковых четырёхмерных пирамид, кубические основания которых — 8 ячеек тессеракта, а вершины совпадают с его центром, и затем приложив эти пирамиды к 8 кубическим ячейкам другого тессеракта. В трёхмерном пространстве аналогичным образом можно из двух равных кубов собрать ромбододекаэдр — который, однако, не является правильным.

В координатах[править | править код]

Первый способ расположения[править | править код]

Двадцатичетырёхъячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы 8 из его вершин имели координаты (эти вершины расположены так же, как вершины шестнадцатиячейника), а остальные 16 вершин — координаты (они расположены так же, как вершины тессеракта; кроме того, те 8 из них, среди координат которых нечётное число отрицательных, образуют вершины другого шестнадцатиячейника, а прочие 8 — вершины третьего шестнадцатиячейника).

При этом ребром будут соединены те вершины, у которых все четыре координаты различаются на — либо одна из координат различается на а остальные совпадают.

Начало координат будет центром симметрии двадцатичетырёхъячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Второй способ расположения[править | править код]

Кроме того, двадцатичетырёхъячейник можно разместить так, чтобы координаты всех его 24 вершин были всевозможными перестановками чисел (эти точки — центры 24 ячеек многоячейника, описанного в предыдущем разделе).

При этом ребром будут соединены те вершины, у которых какие-либо две координаты различаются на а другие две совпадают.

Центром многоячейника снова будет начало координат.

Ортогональные проекции на плоскость[править | править код]

24-cell t0 F4.svg
4-cube t0 B3.svg
24-cell t3 B3.svg
24-cell t0 B4.svg
24-cell t0 B2.svg

Метрические характеристики[править | править код]

Если двадцатичетырёхъячейник имеет ребро длины то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

Заполнение пространства[править | править код]

Двадцатичетырёхъячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений.

Примечания[править | править код]

  1. George Olshevsky. Icositetrachoron // Glossary for Hyperspace.

Ссылки[править | править код]