Десятиугольник: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

(Показать все непатрулированные изменения)

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка Следующая правка →

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Версия от 16:43, 6 февраля 2016

Правильный десятиугольник

Сторон и вершин	10
Символ Шлефли	{10}
Внутренний угол	144°
Симметрия	Диэдрическая ( $D_{10}$ ), порядок 20.

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Правильный десятиугольник

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t - длина стороны):

$A={\frac {5}{2}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{10}}={\frac {5t^{2}}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\approx 7.694t^{2}.$

Альтернативная формула $A=2.5dt$ , где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

$d=2t\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),$

и может быть представлен в радикалах как

$d=t{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.$

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна ${\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}={\tfrac {1}{\varphi }}$ , где $\varphi$ - золотое сечение.

Радиус описанной окружности декагона равен

$R={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}t,$

а радиус вписанной окружности

$r={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}t.$

Построение

По теореме Гаусса - Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку.

Иначе его можно построить следующим образом:

Построить сначала правильный пятиугольник.
Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольника

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный 2m-угольник можно разбить на m(m-1)/2 ромбов. Для декагона m=5, так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника

Пространственный десятиугольник

Правильные пространственные декагоны
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
Пентагональная антипризма	Пентаграммная антипризма	Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник - это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного декагона все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D_5d [2⁺,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные декагоны.

Ортогональные проекции многогранников
Додекаэдр	Икосаэдр	Икосододекаэдр	Ромботриаконтаэдр

Многоугольники Петри

Правильный пространственный десятиугольник - это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.

A₉	D₆		B₅
9-симплекс	4₁₁	1₃₁	5-ортоплекс	5-куб

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. Decagon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
На Викискладе есть медиафайлы по теме Десятиугольник

@@ Строка 24: / Строка 24: @@
 Площадь правильного десятиугольника равна (t - длина стороны):
-<math> A = \frac{5}{2}t^2 \cot \frac{\pi}{10} = \frac{5t^2}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} \simeq 7.694 t^2.</math>
+<math> A = \frac{5}{2}t^2 \cot \frac{\pi}{10} = \frac{5t^2}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} \approx 7.694 t^2.</math>
 Альтернативная формула <math> A=2.5dt</math>, где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:
@@ Строка 35: / Строка 35: @@
 Сторона правильного десятиугольника, вписанного в [[Единичная окружность|единичную окружность]], равна <math> \tfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\tfrac{1}{\varphi}</math>, где <math> \varphi</math> - [[золотое сечение]].
+Радиус описанной окружности декагона равен
+<math>R=\frac{\sqrt{5}+1}{2}t,</math>
+а радиус вписанной окружности
+<math>r=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}t.</math>
 === Построение ===
 По [[Теорема Гаусса — Ванцеля|теореме Гаусса - Ванцеля]] правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь [[циркуль]] и [[Линейка|линейку]].
-[[Файл:Regular_Decagon_Inscribed_in_a_Circle.gif|none|thumb|314x314px|Построение правильного десятиугольника]]
+[[Файл:Regular_Decagon_Inscribed_in_a_Circle.gif|none|thumb|318x318px|Построение правильного десятиугольника]]
 Иначе его можно построить следующим образом:
@@ Строка 62: / Строка 70: @@
 !{5/3}#{ }
 |-
-|[[File:Regular_skew_polygon_in_pentagonal_antiprism.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Regular_skew_polygon_in_pentagonal_antiprism.png|100x100px]]Пентагональная антипризма
+|[[File:Regular_skew_polygon_in_pentagonal_antiprism.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Regular_skew_polygon_in_pentagonal_antiprism.png|100x100px]]
+Пентагональная антипризма
-|[[File:Regular_skew_polygon_in_pentagrammic_antiprism.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Regular_skew_polygon_in_pentagrammic_antiprism.png|107x107px]]Пентаграммная антипризма
+|[[File:Regular_skew_polygon_in_pentagrammic_antiprism.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Regular_skew_polygon_in_pentagrammic_antiprism.png|107x107px]]
+Пентаграммная антипризма
-|[[File:Regular_skew_polygon_in_pentagrammic_crossed-antiprism.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Regular_skew_polygon_in_pentagrammic_crossed-antiprism.png|100x100px]]Пентаграммная антипризма с перекрёстом
+|[[File:Regular_skew_polygon_in_pentagrammic_crossed-antiprism.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Regular_skew_polygon_in_pentagrammic_crossed-antiprism.png|100x100px]]
+Пентаграммная антипризма с перекрёстом
 |}
 '''Пространственный десятиугольник''' - это [[пространственный многоугольник]] с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У ''пространственного зиг-заг десятиугольника'' вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.
@@ Строка 73: / Строка 84: @@
 {| class="wikitable" width="500"
 ! colspan="4" |Ортогональные проекции многогранников
+|-
 |[[File:Dodecahedron_petrie.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Dodecahedron_petrie.png|100x100px]][[Додекаэдр]]
 |[[File:Icosahedron_petrie.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Icosahedron_petrie.png|100x100px]][[Икосаэдр]]
 |[[File:Dodecahedron_t1_H3.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Dodecahedron_t1_H3.png|100x100px]][[Икосододекаэдр]]
 |[[File:Dual_dodecahedron_t1_H3.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Dual_dodecahedron_t1_H3.png|102x102px]][[Ромботриаконтаэдр]]
+|}
+=== Многоугольники Петри ===
+Правильный пространственный десятиугольник - это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях [[Коксетер, Гарольд|Коксетера]].
+{| class="wikitable" width="500"
+!A<sub>9</sub>
+! colspan="2" |D<sub>6</sub>
+! colspan="2" |B<sub>5</sub>
+|- align="center" valign="top"
+|[[File:9-simplex_t0.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:9-simplex_t0.svg|100x100px]]9-симплекс
+|[[File:6-cube_t5_B5.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:6-cube_t5_B5.svg|100x100px]]4<sub>11</sub>
+|[[File:6-demicube_t0_D6.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:6-demicube_t0_D6.svg|100x100px]]1<sub>31</sub>
+|[[File:5-cube_t4.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:5-cube_t4.svg|100x100px]]5-ортоплекс
+|[[File:5-cube_t0.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:5-cube_t0.svg|100x100px]]5-куб
 |}
@@ Строка 84: / Строка 110: @@
 {{Многоугольники}}
 {{Символ Шлефли}}
-{{geometry-stub}}
 [[Категория:Многоугольники]]

Символ Шлефли
Многоугольники	{1} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {8} {9} {10} {11} {12} {13} {14} {15} {16} {17} {18} {19} {20} {24} {30} {257} {65537} {1000000} {4294967295} {∞}
Звёздчатые многоугольники	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Паркеты на плоскости	{3,6} {4,4} {6,3}
Правильные многогранники и сферические паркеты	{2,n} {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} {n,2}
Многогранники Кеплера — Пуансо	{5/2,5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
Соты	{4,3,4}
Четырёхмерные многогранники	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}

Десятиугольник: различия между версиями

Версия от 16:43, 6 февраля 2016

Содержание

Правильный десятиугольник

Построение

Разбиение правильного десятиугольника

Пространственный десятиугольник

Многоугольники Петри

Внешние ссылки

Навигация

Десятиугольник: различия между версиями

Версия от 16:43, 6 февраля 2016

Правильный десятиугольник

Построение

Разбиение правильного десятиугольника

Пространственный десятиугольник

Многоугольники Петри

Внешние ссылки

Навигация

Поиск