Десятиугольник

Правильный десятиугольник
Сторон и вершин	10
Символ Шлефли	{10}
Внутренний угол	144°
Симметрия	Диэдрическая ($D_{10}$), порядок 20.

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Правильный десятиугольник

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):

$A={\frac {5}{2}}t^{2}\ ctg{\frac {\pi }{10}}={\frac {5t^{2}}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\approx 7.694t^{2}.$

Альтернативная формула $A=2.5dt$, где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

$d=2t\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),$

и может быть представлен в радикалах как

$d=t{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.$

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна ${\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}={\tfrac {1}{\varphi }}$, где $\varphi$ - золотое сечение.

Радиус описанной окружности десятиугольника равен

$R={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}t,$

а радиус вписанной окружности

$r={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}t.$

Построение

По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку.

Построение правильного десятиугольника

Иначе его можно построить следующим образом:

1. Построить сначала правильный пятиугольник.
2. Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
3. Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольника

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный $2m$-угольник можно разбить на ${\frac {m(m-1)}{2}}$ ромбов. Для декагона $m=5$, так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника

Пространственный десятиугольник

Правильные пространственные десятиугольники
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
Пятиугольная антипризма	Пентаграммная антипризма	Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник — это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D_5d [2⁺,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.

Ортогональные проекции многогранников
Додекаэдр	Икосаэдр	Икосододекаэдр	Ромботриаконтаэдр

Многоугольники Петри

Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.

A9	D6		B5
9-симплекс	411	131	5-ортоплекс	5-куб

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Decagon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• На Викискладе есть медиафайлы по теме Десятиугольник