Многоугольник
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Assorted_polygons.svg/400px-Assorted_polygons.svg.png)
Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым[1]. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пентаграмма — нет.
Точки перелома ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин[2].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/Regular_tridecagon.svg/220px-Regular_tridecagon.svg.png)
Варианты определений
[править | править код]Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым[1].
- Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
- Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
- Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.
Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.[1]
Связанные определения
[править | править код]- Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
- Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
- Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
- Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
- Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
- Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между и внутренним углом, он может принимать значения от до .
- Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.
Виды многоугольников и их свойства
[править | править код]- Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с вершинами называется -угольником.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%2C_%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B2_%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C.png/150px-%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%2C_%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B2_%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%2C_%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%BE_%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8.png/150px-%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%2C_%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%BE_%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8.png)
- Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника. Выпуклый многоугольник всегда простой, то есть не имеет точек самопересечения.
- Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного -угольника равен .
- Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
- Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
- Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
- Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.[3] Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.
Общие свойства
[править | править код]Неравенство треугольника
[править | править код]Неравенство треугольника влечёт, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных его сторон.
Сумма внутренних углов простого плоского -угольника равна[4] . Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна
Число диагоналей
[править | править код]- Число диагоналей всякого -угольника равно .
Площадь
[править | править код]Пусть — последовательность координат соседних друг другу вершин -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:
- , где .
Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона [5].
Площадь правильного -угольника вычисляется по одной из формул[6]:
- половина произведения периметра -угольника на апофему:
- .
где — длина стороны многоугольника, — радиус описанной окружности, — радиус вписанной окружности.
Квадрируемость фигур
[править | править код]С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , таких, что и , где обозначает площадь .
Вариации и обобщения
[править | править код]- Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 Многоугольник // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 749—752. Архивировано 16 октября 2013 года.
- ↑ 1 2 3 Элементарная математика, 1976, с. 383—384.
- ↑ Картаслов.ру
- ↑ Элементарная математика, 1976, с. 499.
- ↑ Хренов Л. С. Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона Архивная копия от 19 июля 2020 на Wayback Machine // Математическое просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12—15
- ↑ Элементарная математика, 1976, с. 503—504.
Литература
[править | править код]- Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.