Моносплайн

Моносплайн — вид сплайна, сконструированный из степенной функции $x^{m}$ и полиномиального сплайна степени $m-1$, получивший распространение в задачах поиска наилучших квадратурных формул для дифференцируемых функций и ряде других приложений; считаются удобными для компьютерных реализаций.

Формально, для заданного целого числа $m$, множества узлов $\Delta =(x_{1}<x_{2}<\dots <x_{k})$ и вектора гладкости ${\mathfrak {M}}=(m_{1},\dots ,m_{k})$ ($1\leqslant m_{i}\leqslant m$ для всех $i=1,\dots ,k$), класс моносплайнов степени $m$ определяется как:

${\mathcal {MS}}(P_{m-1},{\mathfrak {M}},\Delta )=\left\{{\frac {x^{m}}{m!}}+s(x)\mid s\in {\mathcal {S}}(P_{m-1},{\mathfrak {M}},\Delta )\right\}$,

где ${\mathcal {S}}(P_{m-1},M,\Delta )$ — класс полиномиальных сплайнов степени $m-1$ над множеством узлов $\Delta$ и вектором гладкости ${\mathfrak {M}}$ (что означает равенство в $i$-м узле производных стыкующихся многочленов вплоть до $m_{i}$-й степени включительно).

Многие свойства моносплайнов наследуются от полиномиальных сплайнов, в частности, для них имеет место следующий результат: если $f$ — моносплайн класса ${\mathcal {MS}}(P_{m-1},{\mathfrak {M}},\Delta )$, то его правосторонняя производная $f'_{+}$ — моносплайн класса ${\mathcal {MS}}(P_{m-2},{\mathfrak {M}}',\Delta )$, где ${\mathfrak {M}}'=\{\min(m_{1},m-2),\dots ,\min(m_{k},m-2)\}$. Для переноса ряда свойств с полиномиальных сплайнов на моносплайны разработаны специальные техники, в частности, для определения кратности нулей.

Пространство моносплайнов ${\mathcal {MS}}(P_{m-1},{\mathfrak {M}},\Delta )$ выпукло, при этом не является линейным (в отличие от пространств полиномиальных сплайнов).

Литература

• Larry L. Schumaker. Spline Functions: Basic Theory. — 3rd Edition. — New York: Cambridge University Press, 2007. — 582 с. — (Cambridge Mathematica Library). — ISBN 978-0-521-70512-7.
• Н. П. Корейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. — Киев: Наукова думка, 1992. — ISBN 5-12-002210-3.
• Ю. Я. Субботин. Моносплайн // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — Стб. 812. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Monospline  (неопр.). Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.