Эвольвента

Сюда перенаправляется запрос «Инволюта». На эту тему нужна отдельная статья.

Эвольвенты окружности. Являются частью профиля в зубчатом колесе с эвольвентным зацеплением.

Анимация построения эвольвенты окружности

Эвольвента (от лат. evolvens — разворачивающийся) плоской линии $L$$L$ — это линия $L_{*}$$L_{*}$, по отношению к которой $L$$L$ является эволютой. Иными словами — кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой.

Если линия $L$$L$ задана уравнением ${\bar {r}}={\bar {r}}(s)$${\bar {r}}={\bar {r}}(s)$ ($s$$s$ — натуральный параметр), то уравнение свойства её эвольвенты имеет вид

${\bar {\psi }}={\bar {r}}+(\alpha -s){\dot {\bar {r}}}$${\bar {\psi }}={\bar {r}}+(\alpha -s){\dot {{\bar {r}}}}$,

где $\alpha$$\alpha$ — произвольный параметр.

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

$X=x-{\frac {x'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$$X=x-{\frac {x'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

$Y=y-{\frac {y'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$$Y=y-{\frac {y'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

Пример

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её уравнения имеют следующий вид:

$x=r(\cos(t)+t\sin(t))$$x=r(\cos(t)+t\sin(t))$

$y=r(\sin(t)-t\cos(t))$$y=r(\sin(t)-t\cos(t))$

где $t$$t$ — угол, a $r$$r$ — радиус

Эвольвента цепной линии

Применения

• В технике эвольвенту окружности используют как профиль зуба для колёс зубчатой передачи.

См. также

• Эволюта
• Эвольвентное зацепление
• Параллельная кривая
• Каустика