Брахистохрона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Брахистохро́на (от греч. βράχιστος «кратчайший» + χρόνος «время») — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в июне 1696 года Иоганном Бернулли следующим образом:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки и , лежащих в одной вертикальной плоскости ( ниже ), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси , материальная точка из достигнет за кратчайшее время.


Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке , или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке .

Примечательно, что время спуска не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

Решение задачи о брахистохроне[править | править вики-текст]

Движение тел по различным траекториям. Красная линия — брахистохрона

На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон, Яков Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они, как и сам Иоганн Бернулли решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лёг в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления.

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдём такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

где

 — масса тела,
 — ускорение свободного падения,
 — ордината,
 — скорость движения тела.

Получаем:

откуда можно найти значение проекции скорости на ось :

Поскольку время на спуск равняется , то задача сводится к минимизации значения интеграла

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]