Брахистохрона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Brachistochrone.png

Брахистохро́на (от греч. βράχιστος — кратчайший и χρόνος — время) — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли. Заключается она в следующем:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В, лежащих в одной вертикальной плоскости (В ниже А), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси OY, материальная точка из А достигнет B за кратчайшее время.


Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке А, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке A.

Примечательно, что время спуска не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

Решение задачи о брахистохроне[править | править вики-текст]

На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон, Яков Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они, как и сам Иоганн Бернулли решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лег в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления.

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдем такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

, где
 — масса тела,
 — ускорение свободного падения,
 — ордината,
 — скорость движения тела.

Получаем:

,

откуда можно найти значение проекции скорости на ось :

.

Поскольку время на спуск равняется , то задача сводится к минимизации значения интеграла

.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]