Конхоида Слюза

Конхоида Слюза для некоторых значений a

Конхоиды Слюза — это семейство плоских кривых, которые изучал в 1662 году Рене́-Франсу́а Валте́р, барон де Слюз.

Кривые задаются в полярных координатах уравнением

$r=\sec \theta +a\cos \theta$.

В декартовой системе кривые удовлетворяют уравнению

$(x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}$

за исключением случая a = 0, в котором кривая имеет изолированную точку (0,0), которой нет в полярном представлении кривой.

Кривые являются рациональными круговыми кубическими плоскими кривыми.

Выражения имеют асимптоту x=1 (для a≠0). Точка, наиболее удалённая от асимптоты — (1+a,0). (0,0) является точкой самопересечения для a<−1.

Для $a\geq -1$ область между кривой и асимптотой имеет площадь

$|a|(1+a/4)\pi$

Для $a<-1$ площадь равна

$\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}.$

Если $a<-1$, кривая имеет петлю. Площадь петли равна

$\left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}.$

Семь кривых из семейства имеют собственные имена:

a = 0, прямая (асимптота для остальных кривых семейства)

a = 1, визиера

a = 2, верзиера

a = ${\frac {2}{\sqrt {2}}}$, псевдоверзиера

a = −1, циссоида Диокла

a = −2, прямая строфоида

a = −4, трисектриса Маклорена

Источники

• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.