Рациональная нормальная кривая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Рациональная нормальная кривая — гладкая рациональная кривая степени[en] n в n-мерном проективном пространстве Она является одним из сравнительно простых проективных многообразий, более формально, она является образом вложения Веронезе, применённого к проективной прямой.

Определение[править | править вики-текст]

Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как образ отображения

которое переводит точку с однородными координатами в точку

В аффинной карте это отображение записывается более простым образом:

Нетрудно видеть, что рациональная нормальная кривая получается замыканием аффинной кривой при помощи единственной бесконечно удалённой точки[en].

Эквивалентным образом, рациональную нормальную кривую можно задать как множество общих нулей однородных многочленов

где  — однородные координаты на . Рассматривать все эти эти многочлены не обязательно, для задания кривой достаточно выбрать, например, и

Альтернативная параметризация[править | править вики-текст]

Пусть  — различных точек на Тогда многочлен

является однородным многочленом степени с различными корнями. Многочлены

образуют базис пространства однородных многочленов степени n. Отображение

также задаёт рациональную нормальную кривую. Действительно, мономы являются всего лишь одним из возможных базисов в пространстве однородных многочленов, и его можно перевести линейным преобразованием в любой другой базис.

Данное отображение отправляет нули многочлена в «координатные точки», то есть точки, все однородные координаты которых, кроме одной, равны нулю. Обратно, рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки, может быть задана параметрически при помощи некоторого многочлена

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любые точки на рациональной нормальной кривой в линейно независимы. Обратно, любая кривая с таким свойством является рациональной нормальной.
  • Для любых точек в таких что любые из них линейно независимы, существует единственная рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки. Для построения такой кривой достаточно перевести из точек в «координатные», а затем, если оставшиеся точки перешли в в качестве многочлена выбрать многочлен, зануляющийся в точках
  • Рациональная нормальная кривая в случае не является полным пересечением, то есть её невозможно задать числом уравнений, равным её коразмерности.[1]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Харрис, Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.