Трактриса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Общий вид графика

Трактри́са (линия влечения) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.

Такую линию описывает (при некоторых допущениях) предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс[1]. Трактриса также является кривой погони.

Уравнения[править | править код]

  • Параметрическое описание:
  • Уравнение в декартовых координатах:
    , при

Свойства[править | править код]

  • Площадь, ограниченная трактрисой и её асимптотой:
  • Длина дуги, от точки (0 ; a) до произвольной точки трактрисы:
  • Радиус кривизны:
  • Поверхность вращения трактрисы вокруг своей асимптоты (оси x), является псевдосферой.
  • Эволюта (огибающая нормалей): (цепная линия)
  • При трактриса имеет отрезок касательной постоянной длины, равный .
  • При трактриса имеет особую точку типа касп.

История[править | править код]

Открытие и первое исследование трактрисы (1670 год) принадлежит французскому инженеру, врачу и любителю математики Клоду Перро, брату знаменитого сказочника. Новая кривая заинтересовала математиков, её свойства выясняли Ньютон (1676), Гюйгенс (1692) и Лейбниц (1693).


Примечания[править | править код]

  1. Механическая интерпретация трактрисы именно как «линии влечения», т. е. линии, по которой вынуждено двигаться по горизонтальной поверхности некое массивное тело под действием силы натяжения нити постоянной длины, другой конец которой движется равномерно вдоль некоторой оси, в общем случае неверна. Такая траектория может быть лишь близкой к трактрисе при сухом трении и инфинитезимальной скорости точки.

Ссылки[править | править код]