Циссоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
CissoidConstruction.svg

В геометрии циссоида — это кривая, созданная из двух заданных кривых C1, C2 относительно точки O (полюса). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C1 в точке P1, а C2 — в точке P2. Пусть P — точка на L такая, что OP = P1P2 (на самом деле имеются две таких точки, но P выбирается так, что P находится в том же направлении от O, что и P2 от P1). Множество таких точек P называется циссоидой кривых C1, C2 относительно O.

Слегка отличные, но, в сущности, эквивалентные определения можно встретить у различных авторов. Например, P может быть определена такой точкой, что OP = OP1 + OP2. Это определение эквивалентно приведённому, если C1 заменить её отражением относительно O. Также можно определить P как середину P1 и P2. Эта кривая совпадает с кривой из предыдущего определения с коэффициентом подобия 1/2.

Слово «циссоида» пришло из греческого языкаkissoeidēs «подобный плющу» — от kissos «плющ» и oeidēs «подобный».

Уравнения[править | править код]

Если C1 и C2 заданы в полярных координатах функциями и соответственно, то уравнение задаёт циссоиду C1 и C2 относительно начала координат. Однако точка может быть представлена различными способами в полярных координатах, так что могут существовать другие ветки циссоиды с другими уравнениями. В частности, C1 можно задать как

.

Таким образом, циссоида — это объединение кривых, заданных уравнениями

.

Часть из этих уравнений приведут к повторению кривых и могут быть исключены.

Например, пусть C1 и C2 — это эллипсы

.

Первая ветвь циссоиды задаётся уравнением

,

то есть, эта ветвь является одной точкой — началом координат. Эллипс также задаётся уравнением

,

так что вторая ветвь циссоиды задаётся уравнением:, и эта кривая имеет форму овала.

Если C1 и C2 заданы параметрическими уравнениями

и

,

то циссоида относительно начала координат задаётся уравнением:.

Специальные случаи[править | править код]

Если C1 является окружностью с центром в точке O, то циссоида является конхоидой кривой C2.

Если C1 и C2 — две параллельные прямые, то их циссоида — третья прямая, параллельная этим двум.

Гиперболы[править | править код]

Пусть C1 и C2 — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C1 и C2 задаются в полярных координатах уравнениями

и

.

Мы можем повернуть на угол так, что можем предположить, что . Тогда циссоида C1 и C2 относительно начала координат задаётся уравнением

.

Обозначив константные выражения, получим

что в декартовых координатах превращается в

.

Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе.

Циссоиды Зарадника[править | править код]

Циссоида Зарадника (названа по имени Карела Зарадника[en]) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности:

является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат.
является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат.
является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду.
  • Циссоида окружности и прямой , где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза (эти кривые не являются реальными конхоидами). Это семейство включает в себя предыдущие примеры.
является циссоидой эллипса и прямой относительно начала координат. Чтобы это показать заметим, что прямую можно задать как
,
а эллипс можно задать как
.
Так что циссоида задаётся уравнением
и это уравнение является параметрической форой листа.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — С. 53—56. — ISBN 0-486-60288-5.
  • Michiel Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.

Ссылки[править | править код]