Кривая Безье

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кривы́е Безье́ или Кривы́е Бернште́йна — Безье́ — типы кривых, предложенные в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей.

Несмотря на то, что открытие де Кастельжо было сделано несколько ранее Безье (1959), его исследования не публиковались и скрывались компанией как производственная тайна до конца 1960-х.

Кривая Безье является частным случаем многочленов Бернштейна, описанных Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году.

Впервые кривые были представлены широкой публике в 1962 году французским инженером Пьером Безье, который, разработав их независимо от де Кастельжо, использовал их для компьютерного проектирования автомобильных кузовов. Кривые были названы именем Безье, а именем де Кастельжо назван разработанный им рекурсивный способ определения кривых (алгоритм де Кастельжо).

Впоследствии это открытие стало одним из важнейших инструментов систем автоматизированного проектирования и программ компьютерной графики.

Определение[править | править вики-текст]

Кривая Безье — параметрическая кривая, задаваемая выражением

где  — функция компонент векторов опорных вершин, а  — базисные функции кривой Безье, называемые также полиномами Бернштейна.

,

где  — число сочетаний из по , где  — степень полинома,  — порядковый номер опорной вершины.

Виды кривых Безье[править | править вики-текст]

Линейные кривые[править | править вики-текст]

Линейная кривая Безье

При n = 1 кривая представляет собой отрезок прямой линии, опорные точки P0 и P1 определяют его начало и конец. Кривая задаётся уравнением:

.

Квадратичные кривые[править | править вики-текст]

Квадратичная кривая Безье

Квадратичная кривая Безье (n = 2) задаётся тремя опорными точками: P0, P1 и P2.

.

Квадратичные кривые Безье в составе сплайнов используются для описания формы символов в шрифтах TrueType и в SWF файлах.

Кубические кривые[править | править вики-текст]

Кубическая кривая Безье

В параметрической форме кубическая кривая Безье (n = 3) описывается следующим уравнением:

.

Четыре опорные точки P0, P1, P2 и P3, заданные в 2- или 3-мерном пространстве определяют форму кривой.

Линия берёт начало из точки P0 направляясь к P1 и заканчивается в точке P3 подходя к ней со стороны P2. То есть кривая не проходит через точки P1 и P2, они используются для указания её направления. Длина отрезка между P0 и P1 определяет, как скоро кривая повернёт к P3.

В матричной форме кубическая кривая Безье записывается следующим образом:

,

где называется базисной матрицей Безье:

В современных графических системах и форматах, таких как PostScript (а также основанные на нём форматы Adobe Illustrator и Portable Document Format (PDF)), Scalable Vector Graphics (SVG)[1], Metafont, CorelDraw и GIMP для представления криволинейных форм используются сплайны Безье, составленные из кубических кривых.

Построение кривых Безье[править | править вики-текст]

Линейные кривые[править | править вики-текст]

Параметр t в функции, описывающей линейный случай кривой Безье, определяет, где именно на расстоянии от P0 до P1 находится B(t). Например, при t = 0,25 значение функции B(t) соответствует четверти расстояния между точками P0 и P1. Параметр t изменяется от 0 до 1, а B(t) описывает отрезок прямой между точками P0 и P1.

Bézier 1 big.gif

Квадратичные кривые[править | править вики-текст]

Для построения квадратичных кривых Безье требуется выделение двух промежуточных точек Q0 и Q1 из условия, чтобы параметр t изменялся от 0 до 1:

  • Точка Q0 изменяется от P0 до P1 и описывает линейную кривую Безье.
  • Точка Q1 изменяется от P1 до P2 и также описывает линейную кривую Безье.
  • Точка B изменяется от Q0 до Q1 и описывает квадратичную кривую Безье.
Построение квадратичной кривой Безье
Анимация t: [0; 1]

Кривые высших степеней[править | править вики-текст]

Для построения кривых высших порядков соответственно требуется и больше промежуточных точек. Для кубической кривой это промежуточные точки Q0, Q1 и Q2, описывающие квадратичные кривые, а также точки R0 и R1, которые описывают линейные кривые: более простое уравнение .

Построение кубической кривой Безье
Анимация t: [0; 1]

Для кривых четвёртой степени это будут точки Q0, Q1, Q2 и Q3, описывающие линейные кривые, R0, R1 и R2, которые описывают квадратичные кривые, а также точки S0 и S1, описывающие кубические кривые Безье:

Построение кривой Безье 4-й степени
Анимация t: [0; 1]

Свойства кривой Безье[править | править вики-текст]

Bezier curve.png
  • непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;
  • кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;
  • при наличии только двух контрольных точек сегмент представляет собой прямую линию;
  • прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управляющих точек;
  • кривая Безье симметрична, то есть обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;
  • масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает её стабильности, так как она с математической точки зрения «аффинно инвариантна»;
  • изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой Безье;
  • любой частичный отрезок кривой Безье также является кривой Безье;
  • степень кривой всегда на одну ступень ниже числа контрольных точек. Например, при трех контрольных точках форма кривой — парабола;
  • окружность не может быть описана параметрическим уравнением кривой Безье;
  • невозможно создать параллельные кривые Безье, за исключением тривиальных случаев (прямые линии и совпадающие кривые), хотя существуют алгоритмы, строящие приближённую параллельную кривую Безье с приемлемой для практики точностью.

Применение в компьютерной графике[править | править вики-текст]

Благодаря простоте задания и манипуляции, кривые Безье нашли широкое применение в компьютерной графике для моделирования гладких линий. Кривая целиком лежит в выпуклой оболочке своих опорных точек. Это свойство кривых Безье с одной стороны значительно облегчает задачу нахождения точек пересечения кривых (если не пересекаются выпуклые оболочки опорных точек, то не пересекаются и сами кривые), а с другой стороны позволяет осуществлять интуитивно понятное управление параметрами кривой в графическом интерфейсе с помощью её опорных точек. Кроме того, аффинные преобразования кривой (перенос, масштабирование, вращение и др.) также могут быть осуществлены путём применения соответствующих трансформаций к опорным точкам.

Наибольшее значение имеют кривые Безье второй и третьей степеней (квадратичные и кубические). Кривые высших степеней при обработке требуют большего объёма вычислений и для практических целей используются реже. Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть последовательно соединены друг с другом в сплайн Безье. Для того, чтобы обеспечить гладкость линии в месте соединения двух кривых, три смежные опорные точки обеих кривых должны лежать на одной прямой. В программах векторной графики, например Adobe Illustrator или Inkscape, подобные фрагменты известны под названием «путей» (path), а в 3DS Max и подобных программах 3D-моделирования кривые Безье имеют название «сплайны».

Преобразование квадратичных кривых Безье в кубические[править | править вики-текст]

Квадратичная кривая Безье с координатами преобразовывается в кубическую кривую Безье с координатами .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. World Wide Web Consortium (W3C). Scalable Vector Graphics (SVG) 1.1 (Second Edition). Chapter 8: Paths (en-US) (16 августа 2011). — W3C Recommendation. Проверено 21 мая 2012. Архивировано из первоисточника 24 июня 2012.

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001.

См. также[править | править вики-текст]