Астроида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Астроида

Астро́ида (от греч. αστρονзвезда и ειδοςвид, то есть звездообразная)[1]плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса . Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем .

История[править | править вики-текст]

Название кривой предложил австрийский астроном Карл Людвиг фон Литров в 1838 г.[1]

Уравнения[править | править вики-текст]

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

Параметрическое уравнение:[2]

Астроида также является алгебраической кривой рода 1 (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

Свойства[править | править вики-текст]

Астроида как огибающая
  • Имеются четыре каспа.
  • Длина дуги от точки с 0 до
  • Длина всей кривой .
  • Радиус кривизны:
  • Площадь, ограниченная кривой:
  • Объем тела вращения относительно любой координатной оси:
  • Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых[1].
  • Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
  • Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипса[1]. В этом случае параметрическое выражение имеет вид:
или в декартовых прямоугольных координатах
  • Неопределённый интеграл правой части последнего уравнения равен
Это выражение полезно при вычислении площадей элементов фигуры.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 4 Александрова, 2008, с. 17.
  2. Уравнение в прямоугольных координатах следует из параметрического уравнения и основного тригонометрического тождества. Вывод параметрического уравнения такой. Возьмем уравнение гипоциклоиды, подставим k=4. Синус/косинус тройного угла разложим по формуле синуса/косинуса суммы, то же для синуса/косинуса двойного угла. Учтем R=4r и получим наши уравнения.

Литература[править | править вики-текст]

  • Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
  • Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.