Трисектриса Маклорена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Трисектриса Маклорена. Показана трисекция угла

В геометрии трисектриса Маклорена — это кубика, примечательная своим свойством трисекции, поскольку она может быть использована для трисекции угла. Её можно определить как геометрическое место точек пересечения двух прямых, каждая из которых вращаются равномерно вокруг двух различных точек (полюсов) с отношением угловых скоростей 1:3, при этом первоначально прямые совпадают с прямой, проходящей через эти полюса. Обобщение этого построения называется Секущая Маклорена[en]. Секущая названа в честь Колина Маклорена, который исследовал кривую в 1742 году.

Уравнения[править | править код]

Пусть две прямые вращаются вокруг точек и , так что прямая, вращающаяся вокруг , имеет с осью x угол , а вращающаяся вокруг , имеет угол . Пусть  — точка пересечения, тогда угол, образованный прямыми в точке , равен . По теореме синусов

, так что в полярной системе координат это даст
.

Таким образом, кривая принадлежит семейству конхоид Слюза.

В прямоугольной системе координат уравнение выглядит как

.

Если начало координат сдвинуть в (a, 0), то вывод, близкий к приведённому, показывает, что уравнение в полярных координат превращается в

делая её примером эписпирали[en].

Свойство трисекции[править | править код]

Для заданного угла рисуем луч из так, что угол с осью составляет . Рисуем луч из начала координат в точку пересечения первого луча с кривой. По построению кривой, угол между вторым лучом и осью равен .

Замечательные точки и свойства[править | править код]

Кривая имеет пересечение с осью x в точке и двойную неподвижную точку в начале координат. Вертикальная прямая является асимптотой. Кривая пересекает прямую в точках , соответствующих трисекции прямого угла. Как основная кубика, она имеет род нуль.

Связь с другими кривыми[править | править код]

Трисектриса Маклорена может быть определена как коническое сечение тремя путями. Конкретно:

.
и прямой относительно начала координат.
.

Вдобавок,

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]