Жезл (плоская кривая)

Жезл, литуус — плоская трансцендентная кривая, определяемая уравнением (в полярной системе координат):

\rho ={\frac {a}{\sqrt {\varphi }}}

, где $\alpha$ — некоторая постоянная константа.

Представляет собой частный случай архимедовой спирали $\rho =\alpha \phi ^{1/n}$ при $n=-2$ .

Вычисление кривизны спирали и угла наклона касательной совершаются по формулам:

$\kappa (\phi )=(8\phi ^{2}-2){\biggl (}{\frac {\phi }{1+4\phi ^{2}}}{\biggr )}^{3/2}$

$\tau (\phi )=\phi -\tan ^{-1}(2\phi )$ ^[1]

Кривая стремится из бесконечности (где она асимптотически приближается к горизонтальной оси) к точке $(0;0)$ , закручиваясь вокруг неё по спирали против часовой стрелки. Размер спирали определяется коэффициентом $a$ . Имеет одну точку перегиба — $\textstyle \left({\frac {1}{2}};a{\sqrt {2}}\right)$ .

Кривая относится к алгебраическим спиралям.

История[править | править код]

Кривая была описана Роджером Котсом в сборнике работ под названием «Гармонические измерения» (лат. Harmonia Mensurarum, 1722), опубликованном 6 лет спустя после его смерти. Котс назвал её литуусом — из-за сходства с жезлом древнеримских авгуров.