Кривая Леви

Кривая Леви

Анимация построения

Кривая Леви — фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата вида /\, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви.

L-система, порождающая кривую Леви:

переменные : F

константы  : + −

начало  : F

правила  : −F++F−

угол  : 45°

Свойства

• Кривая Леви нигде не дифференцируема и не спрямляема.
• На любом интервале кривой Леви есть точки самопересечения.
• Хаусдорфова размерность границы кривой Леви приблизительно равна 1,9340. (Кривая Леви состоит из двух равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия $1/{\sqrt {2}}$, из-за отстуствия существенных самопересечений её размерность в точности равна $2=\ln 2/\ln {\sqrt {2}}$.)
• Кривая Леви — крона дерева Пифагора.

Вариации

Стандартная кривая Леви строится с помощью равнобедренных треугольников с углами при основании 45°. Вариации кривой Леви можно построить с помощью равнобедренных треугольников с другими, отличными от 45° углами. До тех пор, пока угол меньше 60°, каждая новая линия короче той линии, из которой она образована, так что процесс строительства стремится к предельной кривой. Углы менее 45° производят фрактал, который менее плотно "свернут".

Пример алгоритма на PHP

<?php
        $i = 10;
        
        $image = imagecreatetruecolor(640, 480);
        imagefilledrectangle($image, 0, 0, imagesx($image) - 1, imagesy($image) - 1,
                imagecolorresolve($image, 255, 255, 255));
        $color = imagecolorresolve($image, 0, 0, 0);
 
        drawLevy($image, imagesx($image) * 3/8, imagesy($image) * 3/8,
                imagesx($image) * 5/8, imagesy($image) * 5/8, $i, $color);
        
        /**
         * Draws levy curve between two points.
         * @return void
         */
        function drawLevy($image, $xa, $ya, $xc, $yc, $i, $color) {
            if($i == 0)
                imageline($image, $xa, $ya, $xc, $yc, $color);
            else {
                // A---B
                //     |
                //     C
                $xb = ($xa + $xc) / 2 + ($yc - $ya) / 2;
                $yb = ($ya + $yc) / 2 - ($xc - $xa) / 2;
                drawLevy($image, $xa, $ya, $xb, $yb, $i - 1, $color);
                drawLevy($image, $xb, $yb, $xc, $yc, $i - 1, $color);
            } 
        }
 
        header('Content-type: image/png');
        imagepng($image);
        imagedestroy($image);
?>

Пример алгоритма на Python 3

import turtle

turtle.hideturtle()
turtle.tracer(0)
turtle.penup()
turtle.setposition(-100, 0)
turtle.pendown()

axiom, tempAx, logic, iterations = 'F', '', {'F': '-F++F-'}, 15

for i in range(iterations):
    for j in axiom:
        tempAx += logic[j] if j in logic else j
    axiom, tempAx = tempAx, ''

for k in axiom:
    if k == '+':
        turtle.right(45)
    elif k == '-':
        turtle.left(45)
    else:
        turtle.forward(1)

turtle.update()
turtle.mainloop()

См. также

• Самоподобие
• Дерево Пифагора