Синусоидальная спираль

Синусоидальная спираль (красные линии) при $n=2{,}5$ (сплошная) и $n=-2{,}5$ (пунктир).

Синусоида́льная спира́ль — семейство плоских кривых, определяемых классом уравнений в полярных координатах

$\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\varphi ),$

где $a$ — ненулевая константа и $n$ — рациональное число, не равное нулю.

С учётом возможности поворота кривой относительно начала координат уравнение также может быть записано в виде

$\displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\varphi ).$

Использование термина «спираль» в данном случае не является точным, так как получаемые кривые по форме скорее напоминают цветок.

История

Впервые изучена Маклореном.

Частные случаи

Многие известные кривые являются частными случаями синусоидальной спирали:

• Прямая при $n=-1$;
• Окружность при $n=1$;
• Гипербола при $n=-2$;
• Лемниската Бернулли при $n=2$;
• Парабола при $\textstyle n=-{\frac {1}{2}}$;
• Кардиоида при $\textstyle n={\frac {1}{2}}$;
• Логарифмическая спираль при $n\to 0$;
• Кубика Чирнгауза при $\textstyle n=-{\frac {1}{3}}$.

См. также

• Кривая Рибокура — обобщение по виду уравнения
• Роза (плоская кривая)
• Спираль

Ссылки

• Статья на сайте 2dcurves.com (англ.). Дата обращения: 19 марта 2011. Архивировано 9 апреля 2012 года.
• The MacTutor History of Mathematics (англ.). Дата обращения: 19 марта 2011. Архивировано 9 апреля 2012 года.
• The Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Дата обращения: 19 марта 2011. Архивировано 9 апреля 2012 года.
• Wolfram MathWorld (англ.). Дата обращения: 19 марта 2011.