Нётер, Эмми

В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Нётер.

Эмми Нётер
Amalie Emmy Noether
Имя при рождении	нем. Amalie Emmy Noether
Дата рождения	23 марта 1882(1882-03-23)[…]
Место рождения	Эрланген,  Германская империя
Дата смерти	14 апреля 1935(1935-04-14)[…] (53 года)
Место смерти	Брин-Мор, Пенсильвания, США
Страна	Королевство Бавария
Род деятельности	математик, учёная-физик, преподавательница университета
Научная сфера	Математика
Место работы	Гёттингенский университет колледж Брин Мар Университет Эрлангена — Нюрнберга
Альма-матер	Эрлангенский университет
Учёная степень	докторская степень (1907) и хабилитация (1919)
Научный руководитель	Пауль Гордан
Ученики	Ван дер Варден, Бартель Леендерт
Известна как	автор теоремы Нётер
Награды и премии
Медиафайлы на Викискладе

Ама́лия Э́мми Нётер (нем. Amalie Emmy Noether ; 23 марта 1882, Эрланген, Германия — 14 апреля 1935, Брин-Мор, Пенсильвания, США) — немецкий математик, известна за вклад в изучении абстрактной алгебры и теоретической физики. Павел Александров, Альберт Эйнштейн, Жан Дьёдонне, Герман Вейль, и Норберт Винер считали ее наиболее важной женщиной в истории математики. В качестве одного из ведущих математиков своего времени она коренным образом изменила теорию колец, полей и алгебры над полем. В физике, теорема Нётер объясняет связь между симметрией и законами сохранения.

Биография

Нётер выросла в Баварском городе Эрланген, изображение города в 1916 году на открытке

Эмми Нётер и ее братья Альфред, Фриц и Роберт, изображение сделано до 1918 года

Нетер родилась в еврейской семье в франконском городе Эрланген. Её родители, математик Макс Нётер и Ида Амалия Кауфман, происходили из состоятельных купеческих семейств. У Нётер было три брата Альфред, Роберт и Фриц (Фриц Максимилианович Нетер), немецкий и советский математик.

Первоначально изучала языки, планируя стать преподавателем английского и французского. С этой целью добилась разрешения посещать лекции в Эрлангенском университете, где работал её отец, вначале вольнослушательницей (1900), а с 1904 года, когда разрешили женское обучение, она была зачислена официально. Однако в университете лекции по математике привлекали Эмми больше, чем любые другие. Она стала ученицей математика Пауля Гордана, под руководством которого защитила в 1907 году диссертацию по теории инвариантов. После завершения обучения в 1907 году, она работала в Математическом институте Эрлангена без платы на протяжении семи лет. (В то время, женщины были исключены c академических позиций.)

В 1916 году Нётер переехала в Гёттинген, где знаменитые математики Давид Гильберт и Феликс Клейн продолжали работы по теории относительности, и знания Нётер в области теории инвариантов были им нужны. Гильберт оказал на Нётер огромное влияние, сделав её сторонницей аксиоматического метода. Он пытался сделать Нётер приват-доцентом Гёттингенского университета, но все его попытки провалились из-за предрассудков профессуры, в основном в области гуманитарных наук. Стала известна фраза Гильберта:

Не понимаю, почему пол кандидата служит доводом против избрания её приват-доцентом. Ведь здесь университет, а не мужская баня!

Нётер тем не менее, не занимая никакой должности, часто читала лекции за Гильберта. Лишь по окончании Первой мировой войны она смогла стать приват-доцентом в 1919 году, затем сверхштатным профессором (1922).

Самый плодотворный период научной деятельности Нётер начинается около 1920 года, когда она создаёт целое новое направление в абстрактной алгебре. С 1922 года она работает профессором Гёттингенского университета, возглавляет авторитетную и быстро растущую научную школу.

Нётер придерживалась социал-демократических взглядов. На протяжении 10 лет жизни она сотрудничала с математиками СССР; в 1928—1929 учебном году она приезжала в СССР и читала лекции в Московском университете, где она оказала влияние на Л. С. Понтрягина и особенно на П. С. Александрова, до этого часто бывавшего в Гёттингене.

Александров Павел Сергеевич

Вершиной всего услышанного мною в это лето в Гёттингене были лекции Эмми Нётер по общей теории идеалов… Конечно, самое начало теории заложил Дедекинд, но только самое начало: теория идеалов во всём богатстве её идей и фактов, теория, оказавшая такое огромное влияние на современную математику, есть создание Эмми Нётер. Я могу об этом судить, потому что я знаю и работу Дедекинда, и основные работы Нётер по теории идеалов.
Лекции Нётер увлекли и меня, и Урысона. Блестящими по форме они не были, но богатством своего содержания они покоряли нас. С Эмми Нётер мы постоянно виделись в непринуждённой обстановке и очень много с ней говорили, как на темы теории идеалов, так и на темы наших работ, сразу же её заинтересовавших.
Наше знакомство, живо завязавшееся этим летом, очень углубилось следующим летом, а затем, после смерти Урысона, перешло в ту глубокую математическую и личную дружбу, которая существовала между Эмми Нётер и мною до конца её жизни. Последним проявлением этой дружбы с моей стороны была речь памяти Эмми Нётер на собрании Московской международной топологической конференции в августе 1935 года. Шаблон:-1

Нётер являлась одним из ведущих членов отдела математики в Гёттингенском университете; ее учеников иногда называют «сыновьями Нётер». В 1924 году голландский математик Бартель Ван-дер-Варден присоединился к ее кругу и скоро стал ведущим толкователем идей Нётер: ее работа была основой для второго учебника 1931 года - "Алгебра в стиле модерн". После выступления Нётер в 1932 году на пленарном заседании Международного Конгресса Математиков в Цюрихе, ее алгебраическая сообразительность была признана во всем мире. Совместно со своим учеником Эмилем Артином, получает премию Аккермана-Тёбнера за достижения в математике.

После прихода нацистов к власти в 1933 году Нётер, как еврейке, пришлось эмигрировать в США, где она стала преподавателем женского колледжа в Брин-Море (Пенсильвания) и приглашённым преподавателем Института перспективных исследований в Принстоне. Младший брат Эмми, одарённый математик Фриц Нётер, уехал в СССР, где был расстрелян в сентябре 1941 года за «антисоветские настроения».

Личная жизнь Нётер не сложилась. Непризнание, изгнание, одиночество на чужбине, казалось бы, должны были испортить её характер. Тем не менее, она почти всегда выглядела спокойной и доброжелательной. Герман Вейль писал, что даже счастливой.

Останки Нётер были помещены в Колледже Брин-Мора. Библиотека Кэри Томаса.

В апреле 1935 года врачи обнаружили у Нётер опухоль в области таза. В ходе операции также была обнаружена киста яичника. Две небольших опухоли в матке казались доброкачественными и не были удалены. В течение трех последующих дней после операции у Нётер наблюдалось улучшение состояния, на четвертый день прошла и сосудистая недостаточность. 14 апреля Нётер упала без сознания, ее температура поднялась до 42,8 градусов и она умерла. На тот момент Эмми Нётер было 53 года.

Академик П. С. Александров писал:

Если развитие математики сегодняшнего дня несомненно протекает под знаком алгебраизации, проникновения алгебраических понятий и алгебраических методов в самые различные математические теории, то это стало возможным лишь после работ Эмми Нётер.

А. Эйнштейн в заметке на её смерть отнёс Нётер к величайшим творческим гениям математики.

Преподавание

Университет Эрлангена

Пауль Гордан, руководил докторской диссертацией Нётер о инвариантах.

Нётер с легкостью давалось изучение французского и английского языков. Весной 1900 года она сдала экзамен на знание этих языков и получил общую оценку "очень хорошо". Полученная Нётер квалификация давала ей возможность преподавать языки в школах для девушек, но, вместо этого,она предпочла продолжить учебу в университете Эрлангена.

В 1898 году Академический Сенат университета разрешил совместное обучение, но для девушек остался ряд ограничений. Теперь у Нётер была возможность посещать те занятия, на которых она хотела присутствовать, но для этого ей было необходимо получить индивидуальное разрешение от профессоров. Несмотря на эти препятствия, 14 июля 1903 года она сдала выпускной экзамен в Реальной гимназии в Нюрнберге.

Во время зимнего семестра 1903-04 Нётер училась в университете Геттингена, посещала лекции астронома Карла Шварцшильда и математиков Германа Минковского, Отто Блюменталя, Феликса Клейна, и Давида Гильберта. Вскоре после этого, ограничения на обучение женщин в этом университете были отменены.

Нётер вернулась в Эрланген и официально восстановилась в университете 24 октября 1904 года. Она заявила, о своем намерении сосредоточиться исключительно на математике. Под руководством Павла Гордана Нётер написала диссертацию о полной системе инвариантов тройных биквадратному форм, 1907 год. Хотя работа была хорошо принята, Нётер позже описала ее, как "бред".

В течение следующих семи лет (1908-15), она преподавала в университете Математического института Эрлангена без платы, иногда подменяя своего отца, когда тот был слишком болен, чтобы читать лекции. В 1910 и 1911 Нётер опубликовала расширенный вариант ее дипломной работы от трех переменных для n переменных.

Нётер иногда использовала открытки, чтобы обсудить вопросы абстрактной алгебры с коллегой, Эрнст Фишер, 10 апреля 1915

Гордан ушел в отставку весной 1910 года, но продолжал преподавать иногда совместно с его преемником, Эрхардом Шмидтом. Гордан окончательно закончил преподавательскую деятельность в 1911 году и в декабре 1912 года его не стало.

С 1913 по 1916 Нётер опубликовал несколько статей, о способах применения методов Гильберта для математических объектов, таких как поля рациональных функций и инварианты конечных групп. Эта фаза знаменует начало ее работы с абстрактной алгеброй, областью математики, в которой она будет делать новаторские вклады.

По мнению Германа Вейля, Фишер оказал большое влияние влияние на Нётер. Они получали наслаждение от изучения математики и часто долго обсуждают лекции, после их завершения. Нётер послала Фишеру открытки с рассказом о ее математических исследованиях.

Университет Гёттингена

Весной 1915 года, Нётер получила приглашение вернуться в университет Геттингена от Давида Гильберта и Феликса Клейна. Против их желания выступило большинство сотрудников философского факультета. Один из преподавателей выразил протест: "Что подумают наши солдаты, когда они вернутся в университет и обнаружат, что они должны учиться у ног женщины?" Гильберт ответил с негодованием, заявив, что "Не понимаю, почему пол кандидата служит доводом против избрания её приват-доцентом. Ведь здесь университет, а не мужская баня!".

In 1915 Давид Гильберт пригласил Нётер присоединиться к отделу математики в Гёттингене, не обращая внимания на мнение некоторых из его коллег, которые считали, что женщинам не должно быть разрешено преподавать в университете.

Нётер уехала в Геттинген в конце апреля; спустя две недели в Эрлангене внезапно умерла ее мать. Ранее у нее была операция на глазах, но причина ее смерти так и осталась неизвестной. Примерно в то же время отец Нётер вышел в отставку. Он и брат Нётер присоединились к немецкой армии. Нётер вернулась в Эрланген спустя несколько недель, с целью ухода за ее стареющим отцом.

В первые годы преподавания в Геттингене Нётер работала за бесплатно и не имела официальной должности; ее семья оплачивала проживание и питание. Считалось, что, читаемые ей лекции были лекциями Гилберта, а Нётер выступала в роли ассистента.

Вскоре после прибытия в Геттинген, Нётер продемонстрировала свои знания, доказав теорему, теперь известную как теорема Нётер, которая показывает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Американские физики Леон М. Ледерман и Кристофер Т. Хилл пишут в своей книге Симметрия и Красивая Вселенная о том, что теорема Нётер является "безусловно, одой из самых важных математических теорем когда-либо доказанных за время развития современной физики, возможно, она находится на одном уровне с теоремой Пифагора".

Отдел математики в университете Геттингена.

На смену Первой Мировой Войне пришла революция в Германии 1918-1919 годов, которая внесла значительные изменения в социальные отношения, в том числе расширив прав женщин. В 1919 году университет Геттингена предоставил Нётер возможность показать свои способности и знания. Устный экзамен для Нёртер был проведен в конце мая, и в июне она успешно защитила свою докторскую диссертацию.

Три года спустя Нётер получила письмо от прусского министра науки, искусства и народного образования, в котором говорилось, о присвоении ей титула профессора с ограниченными внутренними административными правами и функциями. Хотя важность ее работы была признана, Нётер продолжала работать за бесплатно. Год спустя положение изменилось, и она была назначена на должность Лектора по алгебре.

Фундаментальный труд в области абстрактной алгебры

Хотя теорема Нётер оказала глубокое влияние на физику, математики помнят ее плодотворный вклад в абстрактную алгебру. В предисловии к Сборнику статей Нётер, Джекобсон пишет, что "развитие абстрактной алгебры, которое стало инновационным для математики двадцатого века, в значительной степени заслуга Нётер".

Новаторскую работу по алгебре Нётер в сотрудничестве со Шмейдлером начала в 1920 году, тогда она опубликовала статью о теории идеалов, в которой они определили левые и правые идеалы в кольце. В следующем году она опубликовала статью под названием Теория Идеалов в Кольцевых Областях, анализируя условия максимальности. Алгебраист Ирвинг Капланский назвал эту работу "революционной". После издания статьи появилось понятие "Нётерово кольцо" и некоторые другие математические объекты стали носить название Нётеровых.

В 1924 году молодой голландский математик, Ван дер Варден, прибыл в университет Геттингена и сразу же приступил к совместной работе с Нётер. Ван дер Варден позже сказал, что ее оригинальность была "абсолютно вне конкуренции". В 1931 году он опубликовал "Современную Алгебру", при написании второго тома своего учебника он работал с трудами Нётер. С седьмом издании он упомянул ее как "частично основано на лекциях Э. Артин и Э. Нётер". Нётер иногда позволяла своим коллегам и студентам использовать ее идеи, помогая им развивать свою карьеру за счет ее работ.Герман Вейль писал:

Значительная часть того, что составляет содержание второго тома «Современной алгебры» (Теперь просто «Алгебры») ван дер Вардена, должно принадлежать Эмми Нётер

Визит Ван дер Вардена был частью съезда математиков со всего мира в Геттинген, который стал главным центром математического и физического исследования. С 1926 по 1930 Русский тополог Павел Александров читал лекции в университете, и он, и Нётер быстро стали хорошими друзьями. Она попыталась помочь получить ему место профессора в Геттингене, но смогла лишь договориться о том, что бы ему выплачивали стипендию от Фонда Рокфеллера. Они регулярно встречались и наслаждались дискуссиями о пересечениях алгебры и топологии. В 1935 на прощальной речи, Александров назвал Эмми Нётер "величайшей женщиной-математиком всех времен".

Лекции и студенты

Эмми Нётер. 1930

В Геттингене, Нётер подготовила более десятка аспирантов; ее первым выпускником была Грета Герман, которая защитила диссертацию в феврале 1925 года. Нётер также руководила работами Макса Дьюринга, который внес значительный вклад в области арифметической геометрии; Ханса Фиттинга, который запомнится теоремой и леммой Фиттинга; и Тзенгом Чиун-Же, который доказал, теорему Тзена. Она также тесно сотрудничала с Вольфгангом Круллем, который известен его теорией размерности для коммутативных колец.

В дополнение к ее математической проницательности, Нётер уважали за ее внимание к окружающим. Хотя она иногда действовала грубо по отношению к тем, кто был не согласен с ней, тем не менее, она была любезна и терпелива по отношению к новым студентам. За ее стремление к математической точности, коллеги называли Нётер «строгим критиком». Она объединяла это требование к точности с заботливым отношением. Её коллега позже описанных о ней: "Полностью не эгоистична и свободна от суеты, она не делала ничего для себя, она продвигала работы своих учеников прежде всего".

Ее скромный образ жизни сначала был связан с тем, что ее работа не оплачивалась. Однако, даже после того, как университет начал выплачивать ей небольшую зарплату в 1923 году, она продолжала вести простой и скромный образ жизни. Позже она стала получать более щедрое вознаграждение за свою работу, но откладывала половину своей зарплаты, чтобы потом завещать ее племяннику, Готфриду Э. Нётер.

Нётер не сильно заботилась о своем внешнем виде и манерах, биографы предполагают, что она была полностью сосредоточена на учебе. Выдающийся алгебраист Ольга Тодд описала обед, во время которого Нётер, была полностью погружена в обсуждение математики "сильно жестикулировала", ела "постоянно проливая еду и вытирая ее о платье, с невозмутимым видом". Внешний вид студентов менялся, когда она использовала часть своей блузки как носовой платок и не обращала никакого внимания на беспорядок в волосах. Однажды, две студентки подошли к Нётер во время перерыва на двухчасовом занятии, но они были не в состоянии вставить и слова во время ее энергичной дискуссии о математике с группой других студентов.

Согласно некрологу Ван дер Вардена Нётер, не следовала плану урока на своих лекциях, что расстраивало некоторых студентов. Вместо этого она использовала свои лекции в качестве времени для обсуждения и разъяснения с ее студентами ультрасовременных проблемы математики. Некоторые ее самые важные результаты работы были получены в ходе этих лекций, а конспекты лекции ее студентов сформировали основу учебников Ван дер Вардена и Деуринга.

Лекции Нётер посещали и ее коллеги, которым она позволила некоторые из ее идей издать под своим именем. Нётер отвела в Гёттингене пять семестров, давав курсы:

• Зима 1924/25: Теория групп и Гиперкомплексные числа
• Зима 1927/28: Гиперсложные Количества и Теория Представления
• Лето 1928 года: Некоммутативная алгебра
• Лето 1929 года: Некоммутативная арифметика
• Зима 1929/30: Алгебра Гиперсложных Количеств.

Нетер говорила быстро, что отражало скорость ее мыслей. Это требовало большой концентрации внимания у студентов. Студенты, которые не любили ее стиль часто чувствовал себя отчужденным. Некоторые ученики чувствовали, что она слишком любила вдаваться в спонтанные дискуссии. Ее самые преданные ученики, однако, восхищались ее энтузиазмом, с которым она преподносила математику, тем более, что ее лекции часто строились на ранее проделанной работе вместе с этими студентами.

Нётер доказала преданность своему предмету и своим ученикам, работу с которыми она продолжала после лекций. Однажды, когда здание университета было закрыто для государственного праздника, она собрала класс на крыльце, провела их через лес, и читала лекции в местном кафе. После прихода к власти нового правительства в 1933 году Нётер была уволена из университета. Она приглашала студентов в свой дом, чтобы обсудить планы на будущее и вопросы математики.

Москва

Нётер преподавала в МГУ с зимы 1928 по 1929 год.

Зимой 1928-29 Нётер приняла приглашение поработать в Московском Государственном Университете (МГУ), где она продолжила работу с Павлом Александровым. Помимо проведения исследований, Нётер преподавала в абстрактную алгебру и алгебраическую геометрию. Она работала с топологами, Понтрягиным и Чеботаревым Николаем, которые оценили ил ее вклад в развитие теории Галуа.

Политика не занимала центральное место в жизни Нётер, но большой интерес она проявила к революции 1917 года. Она считала, что приход к власти большевиков способствовал развитию математики в Советском Союзе. Это вызвало у нее большие проблемы в Германии. В итоге, Нётер была вынуждена покинуть родную страну.

Павел Александров

Нётер планировала вернуться в Москву, где она получала поддержку от Александрова. После ее отъезда из Германии в 1933 году он пытался помочь ей получить место через Министерство образования на кафедре в МГУ. Хотя эти усилия оказались безуспешными, Нётер и Александров часто переписывались. В 1935 году Нётер решила вернуться в Советский Союз. В то же время, ее брат Фриц получил должность в Научно-исследовательском институте математики и механики в Томске, в Сибирском федеральном округе, после потери работы в Германии.

Признание

В 1932 году Нётер, совместно со своим учеником Эмилем Артином, получает премию Аккермана-Тёбнера за достижения в математике. Тем не менее, ее коллеги выразили разочарование в связи с тем, что Нётер не была избрана в Академию наук Геттингена и никогда не был назначен на должность профессора.

Нётер посетила Цюрих в 1932 году, чтобы выступить на пленарном заседании Международного конгресса математиков.

Коллеги Нётер отпраздновали ее пятидесятый день рождения в 1932, в стиле, типичном для математиков. Хельмут Хассе посвятил ей статью в германском журнале Mathematische Annalen, в котором он подтвердил ее подозрения, что некоторые аспекты некоммутативной алгебры проще, чем в коммутативной алгебре, доказав некоммутативный закон взаимности. Это понравилось ей безмерно. Он также загадал ей математическую загадку - загадку слогов, которую она сразу же разгадала.

В ноябре того же года, Нётер выступила на пленарном заседании Международного конгресса математиков в Цюрихе с докладом о «Гипер-сложных системах и их отношениях с коммутативной алгеброй". В конгрессе приняли участие 800 человек, в том числе коллеги Нётер Герман Вейль, Эдмунд Ландау, и Вольфганг Крулля. На 1932 год участие в конгрессе считалось самой высокой точкой в карьере.

Изгнание из Геттингена

После прихода к власти в Германии Гитлера в 1933 году, нацистская деятельность по всей стране резко возросла. В Университете Геттингена немецкая студенческая ассоциация нападала на ученых евреев, считая их взгляды на науку неверными. В университете создался климат враждебный по отношению к еврейским профессорам. Один молодой протестующий потребвал: "Арийские студенты хотят изучать арийскую математику, а не еврейскую.".

Одним из первых действий администрации Гитлера был Закон о Восстановления Профессиональной гражданской службы, из-за которого были уволены евреи с постов государственных служащих, если они "не демонстрировали свою лояльность к новой власти в Германии". В апреле 1933 года Нётер получила уведомление от Министерства науки, искусств и образования Пруссии, в котором говорилось, что: "На основании пункта 3 о гражданской службе от 7 апреля 1933 года, Вы отстраняетесь от занятий в университете Геттингена". Нётер отнеслась к этому решению спокойно. Она имела поддержку со стороны коллег. в том числе Макса Борна и Ричарда Куранта, которые так же были отстранены. Нётер сосредоточилась на математике, она собирала студентов в своей квартире, там они обсуждали теорию полей классов. Когда один из ее студентов появился в нацисткой форме, она не показала вида и ,по сообщениям, даже смеялась над этим позже.

Брин-Мор

Колледж Брин-Мор был домом для Нётер последние два года ее жизни

Как десятки безработных профессоров Нётер начала искать работу за пределами Германии, ее коллеги в США стремились обеспечить помощь и создавали новые рабоче места. Альберт Эйнштейн и Герман Вейль были назначены в Институт перспективных исследований в Принстоне, в то время как другие искали работу, чтобы можно было обеспечить себе легальную иммиграцию. Нетер рассматривала работу в двух образовательных учреждениях, Колледже Брин-Мор в Соединенных Штатах и ​​Сомервилльском колледже при Оксфордском университете в Англии. После серии переговоров с Фондом Рокфеллера, грант в Брин-Мор был одобрен для Нётер, и она стала работать там с конца 1933 года.

В Брин-Мор, Нётер встретилась и подружилась с Анной Уилер, которая училась в Геттингене перед Нётер. Еще один, кто поддерживал Нётер в колледже был президент Брин-Мор, Марион Эдвардс. Нётер с небольшая группа студентов работали по Книге о современной Алгебре Ван дер Вардена, 1930 год и "Алгебраической теории чисел" Эриха Гекке, 1908 год.

В 1934 году, Нётер начала чтение лекций в Институте перспективных исследований в Принстоне по приглашению Абрахама Флекснера и Освальда Веблена. Она также работала с Майкельсон, Альбертом Абрахам и Гарри Вандивером. Тем не менее, она не приветствовала работу в Принстонском университете, так как она считала, что это «мужской университете, где ничего женского".

Летом 1934 года Нётер ненадолго вернулась в Германию, чтобы увидеть Эмиля Артина и ее брата Фрица. Хотя многие из ее бывших коллег были вынуждены уйти университетов, она все еще имела право пользоваться библиотекой на правах "иностранного ученого".

Вклад в математику и физику

Для математиков прежде всего важны работы Нётер в области абстрактной алгебры и топологии. Физики уделяют большое внимание теореме Нётер. Ее работа внесла большой вклад в развитие теоретической физики и динамических систем. Нётер проявила склонность к абстрактному мышлению, которое позволило ей решать проблемы математики новыми и оригинальными способами . Её друг и коллега Герман Вейль разделил ее научную работу на три эпохи:

Три четко выделившиеся эпохи в научных исследованиях Эмми Нётер:
(1) период относительной зависимости, 1907–1919;
(2) исследования, сгруппированные вокруг общей теории идеалов 1920–1926;

(3) изучение некоммутативной алгебры и ее применение к исследованию коммутативных числовых полей и их арифметики.

Оригинальный текст (англ.)

Emmy Noether's scientific production fell into three clearly distinct epochs:

(1) the period of relative dependence, 1907–1919;
(2) the investigations grouped around the general theory of ideals 1920–1926;

(3) the study of the non-commutative algebras, their representations by linear transformations, and their application to the study of commutative number fields and their arithmetics.

— Вейль, 1935

В первую эпоху (1907-19), Нётер, в первую очередь, работала с дифференциальными и алгебраическими инвариантами. Ее математические горизонты расширялись, и работы становились более абстрактными, на это повлияло ее знакомство с научным-трудом Давида Гильберта.

Во второй эпохе (1920-26), Нётер посвятила себя разработке теории математических колец.

В третью эпоху (1927-35), Нётер сосредоточила свое внимание на изучении некоммутативной алгебры, линейных преобразований и коммутативных полей.

Исторический смысл

Начиная с 1832 года и до смерти Нётер в 1935 году, область математики (особенно алгебры) претерпела глубокие изменения. Математики предыдущих столетий работали над практическими методами решения конкретных типов уравнений, например, кубических, а также над связанными с этим задачами построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Начиная с труда Карла Фридриха Гаусса доказывавшего в 1832, что простые числа, такие как пять могут быть факторизованы в Гауссовы целые числа, работы Галуа о группах перестановок, написанной в 1832 году (но, по причине смерти, его работы были опубликованы лишь в 1846 году Лиувиллем), открытия Уильяма Роуэна Гамильтона кватернионов в 1843 году, и более современного определения Артура Кэли групп в 1854 году, исследования обратились к определению свойств более абстрактных систем, более универсальных правил. Наиболее важный вклад Нётер в развитие новой области математики внесла за счет развития такого направления, как абстрактная алгебра.

Абстрактная алгебра и концептуальная математика

Два из самых основных объекта абстрактной алгебры - это группы и кольца.

Группа состоит из множества элементов и одной операции, которая сочетает в себе первый и второй элемент и возвращает третий. Операция должна удовлетворять определенным ограничениям для того, чтобы группа была определена: она должна иметь нейтральный для каждого элемента элемент, обладать свойством ассоциативности, то есть в каждой группе должен присутствовать единичный элемент (элемент, который, в сочетании с другим элементом с помощью операции, в результате которой будет получен исходный элемент, например, при добавлении нуля к числу или умножив его на один), и для каждого элемента должен быть обратный элемент. Группы часто изучают через представления групп.

Кольцо аналогично, имеет множество элементов, но теперь на нем определены две операции – сложение и умножение. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна (обычно также подразумевается её ассоциативность и существование единицы). Коммутативное кольцо, в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный элемент относительно умножения (элемент х такой, что Ах = ха = 1), называют полем. Поле определяется как коммутативное тело.

Чаще всего группы изучали ч помощью групповых представлений. В общей форме они состоят из выбора группы, множества и действия группы на множестве. То есть, это операция, которая принимает элемент группы и элемент множества и возвращает элемент множества. Чаще всего множество является векторным пространством, а группа симметрична этому пространству. Например, существует группа, которая осуществляет строгие повороты в пространстве. Это разновидность симметрии пространства, потому что само пространство не изменяется при вращении, даже если положение объектов в нем изменяется. Нетер использовали эти виды симметрий в своей работе над инвариантами.

Мощный способ изучения кольца через модули.Модуль состоит из выбранного кольца, другого множества, обычно отличающегося от базового множества кольца и называется базовым множеством модуля. То есть, операция, которая принимает элемент кольца и элемент модуля, возвращает элемент модуля. Базовое множество модуля, и его операции должны образовывать группу. Модуль представляет собой теоретическое кольцо, версию представления группы. Игнорирование второй операции кольца и операции над парами элементов модуля определяет представление группы. Реальной пользой от модулей является то, что виды модулей, которые существуют и их взаимодействие, выявляют структуру кольца способами, которые не явны из самого кольца. Важным частным случаем этого является алгебра. (Слово алгебра означает и предмет в пределах математики, а также объект изучения в предмете алгебра.) Алгебра состоит из выбора двух колец и операции, которая принимает элемент из каждого кольца и возвращает элемент второго кольца. Эта операция превращает второе кольцо в модуль над первым. Часто первое кольцо является полем.

Такие слова, как "элемент" и "операции комбинирования" носят очень общий характер, и могут быть применены во многих реальных и абстрактных ситуациях. Любое множество предметов, которые подчиняются всем правилам для одной(или двух) операции(ий), определяются как группа (или кольцо), и подчиняются всем теоремам о группах (или кольцах). Целые числа и операции сложения и умножения, являются всего лишь одним из примеров. Например, элементами могут быть компьютерные слова данных, где первая операция объединения является исключительной или вторая логическим соединением. Теоремы абстрактной алгебры являются мощными, поскольку они являются общими; они регулируют многие системы. Вклад Нётер заключается в том, что она пыталась определить максимум, с заданным набором свойств, или наоборот, чтобы определить минимальный набор, свойства которого отвечают за конкретное наблюдения. В отличие от большинства математиков, Нётер не получала абстракции путем обобщения известных примеров; скорее, она работала непосредственно с абстракциями. Ван дер Варден вспоминал в некрологе о ней:

Для Эмми Нётер отношения между числами, функциями и операциями стали прозрачными, продуктивными и поддались обобщению только после того, как они были отделены от каких-либо конкретных объектов и были сведены к общим понятийным отношениям .

Оригинальный текст (англ.)

Any relationships between numbers, functions, and operations become transparent, generally applicable, and fully productive only after they have been isolated from their particular objects and been formulated as universally valid concepts.

Это чисто концептуальная математика, характерная для Нётер. Это направление было принято и другими математиками, особенно теми, кто тогда занимался изучением абстрактной алгебры.

Целые числа и кольца

Целые числа образуют коммутативное кольцо, элементами которого они являются, и сочетают операции сложения и умножения. Любая пара целых чисел может быть сложена или перемножена, в ходе чего появляется новое число. Операция сложения, является коммутативной, то есть, для любых элементов a и b в кольце, a + b = b + a. Вторая операция, умножение, также коммутативна, но это справедливо не для всех колец. То есть, a в сочетании с b может отличаться от b в сочетании с a. Примерами некоммутативных колец являются матрицы и кватернионы. Целые числа не образуют разъединенное кольцо, потому что вторая операция не всегда может быть обратной и не существует такого числа a, чтобы 3 × a = 1.

Целые числа имеют дополнительные свойства, которые не распространяются для всех коммутативных колец. Важным примером является Основная теорема арифметики, в которой говорится, что любое положительное число можно разложить на однозначно простые числа. Такое разложение не всегда существует для колец, но Нётер нашла уникальную теорему факторизации, которая теперь называется теоремой Ласкера-Нётер для идеалов многих колец. Большая часть работы Нётер заключалась в определении свойств, справедливых для всех колец.

Первая эпоха (1908-1919)

Теория инвариантов

Таблица 2 из диссертации Нётер по теории инвариантов. Эта таблица собирает 202 из 331 инвариантов тройных биквадратичных форм. Эти формы дифференцируются в двух переменных x и u. В горизонтальном направлении таблице приведены инварианты с увеличением классов в x, в то время как в вертикальном направлении с увеличением классов в u.

Большая часть работы Эмми Нётер в первую эпоху её карьеры была связана с теорией инвариантов, главным образом с алгебраической теорией инвариантов. Теория инвариантов связана с выражениями, которые остаются неизменными (инвариантными) в группе преобразований. Популярный пример, если есть неподвижный критерий с координатами (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂), и его конечные точки изменятся, но длина остается равной L, определяемая по формуле L² = Δx² + Δy² + Δz², то он остается прежним. Теория инвариантов была живой областью исследований в конце девятнадцатого века, отчасти это вызвано программой Феликса Клейна - Эрлангенская программа, в соответствии с которой различные направления в геометрии должны характеризоваться инвариантными преобразованиями, например, двойными отношениями в проективной геометрии. Архетипом неизменности является дискриминант B² − 4AC бинарной квадратичной формы Ax² + Bxy + Cy². Она является неизменной, потому что она не меняется при линейных вариациях x→ax + by , y→cx + dy с определителем ad − bc = 1. Эти подстановки формируют специальную линейную группу SL₂. В целом, можно взять неизменные однородные многочлены A₀x^ry⁰ + ... + A_rx⁰y^r более высокой степени, которая будет определять многочлены коэффициентов A₀, ..., A_r, и все они будут равны. Аналогичный пример можно задать для однородных многочленов с более чем двумя переменными.

Одной из основных целей инвариантной теории было решить "основную конечную проблему". Сумма или произведение любых двух неизменных - инвариантны, но в конечном итоге всё же встает вопрос: возможно ли получить все неизменные, начиная с конечного списка инвариантов, который называется генератором, а затем, добавлять или умножать все эти генераторы. Например, дискриминант дает конечное основание (с одним элементом) для неизменных бинарных квадратичных форм. Пол Гордан, советник Нётер, был известен как "король инвариантной теории", и его главный вклад в математику был сделан в 1870 году. Он решил проблему конечного базиса для неизменных однородных многочленов для двух переменных. Он доказал это, предложив конструктивный способ нахождения всех переменных и их генераторов, но он не мог использовать этот подход для инвариантов с тремя или более переменными. В 1890 году Давид Гильберт доказал аналогичное утверждение для инвариантов однородных многочленов с любым количеством переменных. Кроме того, его метод работал, не только для специальной линейной группы, но и для некоторых подгрупп, таких как специальная ортогональная группа. Его первое доказательство вызвало ряд противоречий, потому что это не давало способа построения генераторов, хотя позднее в своей работе он сделал свой метод более конструктивным. Для своей диссертации, Нетёр продолжила работу над доказательством Гордана об однородных многочленах с тремя и более переменными. Конструктивный подход Нетёр позволил изучить отношения между инвариантами.

Теория Галуа

Теория Галуа касается преобразований числовых полей, которые переставляют корни уравнения. Рассмотрим многочлен уравнения переменной x степени n, в котором коэффициенты взяты из области полей, например, из поля вещественных чисел, рациональных чисел, или целых по модулю 7. Там может быть выбор переменной х, которая обращает многочлен в ноль. Такие варианты, если они существуют, называются корнями. Если многочлен x² + 1 и поле действительные числа, то многочлен не имеет корней, потому что любой выбранный x делает многочлен больше или равным единице. Хотя, если поле расширяется, то многочлен может иметь корни, и если поле расширено достаточно, то оно всегда имеет ряд корней, равных его степени. Продолжая предыдущий пример, если поле будет увеличено до комплексных чисел, то многочлен приобретет два корня, i and −i, где i это мнимая единица, то есть, i ² = −1.

Группа Галуа многочлена это совокупность всех способов преобразования поля разложения, сохраняя основное поле и корни многочлена. (В математической терминологии, эти преобразования называются автоморфизмами.) Группа Галуа x² + 1 состоит из двух элементов: тождественного отображения, которое перенаправляет каждое комплексное число на себя, и комплексного сопряжения, которое превращает i в −i. Так как группа Галуа не изменяет основное поле, в нем остаются коэффициенты многочлена без изменений. Так как каждый корень может перейти в другой корень, то преобразование определяет перестановку n корней между собой. Значимость группы Галуа вытекает из основной теоремы теории Галуа, которая доказывает, что поля, лежащие между основным полем и полем разложения находятся во взаимно-однозначном соответствии с подгруппами группы Галуа.

В 1918 году, Нётер опубликовала основную статью о проблеме, обратной проблеме Галуа. Вместо определения преобразований для поля и его расширения в группе Галуа, Нётер задалась вопросом, всегда ли можно найти расширение поля, для данных поля и группы, которое имеет заданную группу в качестве группы Галуа. Она назвала эту проблему "проблемой Нётер", является ли фиксированная область подгруппы G группы S_n, принадлежащей полю k(x₁, ... , x_n) с расширением поля k. (Она впервые говорит об этой проблеме в 1913, но приписывает ее своему коллеге - Фишеру.) Нётер показала что, данное утверждение было верно для n = 2, 3, or 4. В 1969 году Р. Свон нашел контрпример к задаче Нётер, с n = 47 и G циклической группой порядка 47 (хотя эта группа может быть реализована как группа Галуа над полем рациональных чисел другими способами). Обратная задача Галуа так и осталась нерешенной.

Физика

Основные статьи: Теорема Нётер, Законы сохранения и Интегралы движения

Нетер прибыла в Гёттинген в 1915 году по просьбе Давида Гильберта и Феликса Клейна, которые были заинтересованы в получении ее знаний в области теории инвариантов, для того, чтобы помочь им в понимании общей теории относительности и геометрической теории гравитации, разработанной, по большей мере, Альбертом Эйнштейном. Гильберт заметил, что закон сохранения энергии, казалось, был нарушен в общей теории относительности, в связи с тем, что гравитационная энергия может сама по себе тяготеть. Нётер нашла разрешение этого парадокса, используя первую теорему Нётер, доказанную в 1915, но не опубликованную до 1918 года. В ней не только была решена проблема для общей теории относительности, но также были определены сохраняющиеся величины для каждой системы физических законов, которые обладают некоторой непрерывной симметрией.

Получив ее работу, Эйнштейн написал Гильберту:

"Вчера я получил от Мисс Нетер очень интересную статью об инвариантах. Я поражен, что такие вещи могут быть поняты таким образом. Старая гвардия в Геттингене должна взять несколько уроков от Мисс Нетер! Она, кажется, знает свое дело."

Оригинальный текст (англ.)

"Yesterday I received from Miss Noether a very interesting paper on invariants. I'm impressed that such things can be understood in such a general way. The old guard at Göttingen should take some lessons from Miss Noether! She seems to know her stuff."

— Kimberling, 1981, p. 13

Для иллюстрации, если физическая система ведет себя одинаково, независимо от того, как она ориентирована в пространстве, физические законы, которые управляют ею, являются вращательно-симметричными; от этой симметрии, теорема Нётер показывает, что вращательный момент системы должен быть сохранен. Физическая система сама по себе может не быть симметричной; зазубренные астероиды вращаясь в пространстве сохраняют кинетический момент, несмотря на их асимметрию. Скорее, симметрия физических законов, регулирующих систему, отвечает за Законы сохранения. В качестве другого примера, если физический эксперимент имеет один и тот же результат в любом месте и в любое время, то его законы симметричны относительно непрерывных сдвигов в пространстве и во времени; по теореме Нётер, эти симметрии составляют Закон сохранения импульса и энергии в пределах этой системы, соответственно.

Теорема Нётер стала основным инструментом современной теоретической физики, ее понимание дает два закона сохранения, и является практическим инструментом расчета.

Вторая эпоха (1920-1926)

Хотя результаты первой эпохи Нётер были впечатляющими , ее известность как математика опирается больше на новаторскую работу, которую она проделала за вторую и третью эпохи, как отмечали Герман Вейль и Бартель Варден в своих некрологах о ней.

В этих эпохах, она не просто применяла идеи и методы прежних математиков; скорее, она разрабатывала новые системы математических определений, которые бы использовались в будущем. В частности, она разработала совершенно новую теорию идеалов в кольцах, обобщив более раннюю работу Дедекинда. Она также славится разработкой возрастающего условия цепи, простого условия конечности, которые принесли весомые результаты. Такие условия и теория идеалов позволили Нётер обобщить многие старые результаты и взглянуть по-новому на старые проблемы, такие как теории исключения и алгебраических многообразий.

Восходящие и нисходящие потоки

В эту эпоху, Нётер прославился своей работой по возрастанию или по убыванию последовательностей. Последовательность непустых подмножеств A₁, A₂, A₃ и т.д. множества S, считается возрастающей, при условии, если каждое является подмножеством следующего

$A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots .$

И наоборот, последовательность подмножеств S называется нисходящей, если каждое содержит следующее подмножество:

$A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots .$

Последовательность становится постоянной после конечного числа шагов, если существует n, такое, что $A_{n}=A_{m}$ для всех m ≥ n. Совокупность подмножеств заданного множества удовлетворяет восходящему условию для последовательности, если любая возрастающая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов. Если любая убывающая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов, то совокупность подмножеств удовлетворяет нисходящему условию.

Восходящие и нисходящие условия последовательности являются общими. Это означает, что они могут применяться для многих типов математических объектов, и могут показаться не очень мощным инструментом. Нётер показала, как нужно использовать такие условия, с максимальной пользой: например, как использовать их, чтобы показать, что каждый набор подобъектов не имеет максимального/минимального элемента, или, что сложный объект может быть создан с помощью меньшего числа элементов. Эти выводы часто являются важнейшими шагами в доказательстве.

Многие типы объектов в абстрактной алгебре могут удовлетворять условиям последовательности, и, как правило, если они удовлетворяют условию обрыва возрастающих последовательностей, то их называют Нётеровыми. По определению, Нётерово кольцо удовлетворяет условию максимальности на левом и правом идеалах. Нётерова группа определяется как группа, в которой каждая строго возрастающая цепочка подгрупп конечна. Нётеров модуль, является модулем, в котором каждая строго возрастающая цепочка подмодулей становится постоянной после конечного числа шагов. Нётерово пространство является топологическим пространством, в котором каждая строго возрастающая последовательность открытых пространств становится постоянной после конечного числа шагов; это определение делает спектр Нётерова кольца Нетеровым топологическим пространством.

Состояние цепи часто "наследуется" подобъектами. Например, все подпространства Нётерового пространства, Нётеровы; все подгруппы и Факторгруппы Нётеровой группы также, Нетеровы; и, с учетом соответствующих изменений, то же самое для подмодулей и фактормодулей Нётерового модуля. Все факторкольца Нётеровым кольца Нётеровы, но их не обязательно считать подкольцами. Состояние цепи также может быть унаследовано от комбинаций или увеличения Нётерового объекта. Например, конечные прямые суммы Нётеровых колец Нётеровы, как кольцо формальных степенных рядов над Нётеровым кольцом.

Применение таких условий цепи в Нётеровой индукции называют обоснованной индукцией. Это является обобщением математической индукции. Часто используется для ослабления основного утверждения о совокупности объектов к утверждению о конкретных объектах в этой совокупности. Предположим, что S является частично упорядоченным множеством. Один из способов доказать утверждение об объектах из S, является предположение о существовании контрпримера и достижение противоречия. Основной предпосылкой для Нётеровой индукции является то, что каждое непустое подмножество S будет содержать минимальный элемент. В частности, множество всех контрпримеров содержит минимальный элемент. Для того, чтобы доказать первоначальное заявление, достаточно доказать то, что для любого контрпримера есть меньший контрпример.

Коммутативные кольца, идеалы и модули

Статья Нётер Теория идеалов в кольце 1921 года, является основой общей теории коммутативных колец, и дает одно из первых общих определений коммутативного кольца. Ранее результаты в коммутативной алгебре были ограничены специальными примерами коммутативных колец, такими как кольца многочленов над полями или кольца целых алгебраических чисел. Нётер доказала, что в кольце, идеалы которых удовлетворяют условию максимальности, каждый идеал конечно порожден. В 1943 году, французский математик Клод Шевалле ввел термин, Нётерово кольцо, чтобы описать это свойство. Главным результатом в статье Нётер, написанной в 1921 году является Теорема Ласкера — Нётер, которая развивает теорему Ласкера о первичном разложении идеалов полиномиальных колец. Теорему Ласкера-Нётер можно рассматривать как обобщение основной теоремы арифметики, которая гласит, что любое целое положительное число можно представить в виде произведения простых чисел, и что это разложение единственно.

Работа Нётер об Абстрактном построении теории идеалов в алгебраических числовых полях (1927 год), характеризует кольца, в котором идеалы имеют уникальное разложение на простые идеалы дедекиндовых колец. Эта статья также содержит то, что в настоящее время называется Теоремами об изоморфизме, которые описывают некоторые фундаментальные естественные изоморфизмы и некоторые другие основные результаты для Нётеровых и Артиновых модулей.

Теория ликвидации (устранения)

В 1923–1924, Нётер применила свою идеальную теорию к теории устранения, которую она приписала своему студенту, Курту Хенцельту, показывающую, что фундаментальные теоремы о разложении многочленов могут быть выполнены напрямую. Традиционно, теория устранения касается устранения одного или большего количества переменных от системы многочленных уравнений, обычно методом результантов. Для иллюстрации, система уравнений часто может записываться в форме матрицы M(с без вести пропавшей переменной x) вектора времени v (имеющего различное влияние на x) равному нулевому вектору. Следовательно, детерминант матрицы M должен быть нулем, при этом создается новое уравнение, в котором будет устранена переменная x.

Теория инвариантов конечных групп

Методы Гильберта были оригинальным неконструктивным решением проблемы конечного базиса и не могли быть использованы для получения количественной информации об инвариантах групповых действий, и, кроме того, они их нельзя было применить ко всем групповым действиям. В своей статье 1915 года, Нётер нашла решение проблемы конечного базиса для конечной группы преобразований G, действующей на конечномерном векторном пространстве над полем нулевой характеристики. Ее решение показывает, что кольцо инвариантов порождается однородными инвариантами, степень которого меньше или равна, порядка конечной группы; это называется Нётеровой границей. Ее статья дала два доказательства Нётеровой границе, оба из которых также работают, когда характеристикой поля является взаимно простое число | G | ! (факториал последовательности |G| из группы G). Число генераторов должно не соответствовать Нётеровой границе, когда характеристика поля делит |G|, но Нётер была не в состоянии определить, являлась ли эта оценка правильной, когда характеристика поля делит | G |! но не | G |. На протяжении многих лет, определение истинности или ложности этой оценки для данного случая было открытой проблемой под называнием "Нётеров пробел". В 2000 году проблема была решена Флейшманом, а в 2001 году Фогарти доказал правильность этой оценки.

В работе 1926{{Sfn |Noether|1926}, Нётер продолжила теорему Гильберта о представлении конечной группы над любым полем; был получен новый результат, который не вытекает из работы Гильберта, когда характеристика поля делит порядок группы. Позже работу Нётер продолжил развивать Уильям Хабош для всех редуктивных групп с доказательством гипотезы Мамфорда. В своей работе Нётер также написала Нетерову лемму нормализации, показав, что конечно порожденный домен A над полем k имеет набор x1, ..., x₁, ... , x_n алгебраически независимых элементов, таких, что A целочисленно над k[x₁, ... , x_n].

Вклад в топологию

Непрерывная деформация чашки кофе в пончик и обратно. Гомотопия.

В топологии, математики изучают свойства объектов, которые остаются неизменными даже при деформации, свойства их связности. В шутку говорят, что тополог не может отличить пончик от кружки кофе, так как они могут непрерывно деформироваться друг в друга.

Как отметил Павел Александров и Герман Вейль в своих некрологах, вклад Нётер к топологию иллюстрирует ее богатство ее идей. Нетер приписывают фундаментальные идеи, которые привели к развитию алгебраической топологии, в частности, идеи гомологии групп. Нётер принимала участие в лекции Хайнца Хопфа летом 1926 года и 1927 года, где "она постоянно делала замечания, которые были глубокими и тонкими". Александров говорил о Нётер, что

Когда ... она впервые ознакомилась с систематическим строем комбинаторной топологии, она сразу же заметила, что было бы целесообразно изучить непосредственно группы алгебраических комплексов и циклов заданного многогранника и подгруппу группы, состоящей из цикла циклов, гомологичных нулю; вместо обычного определения чисел Бетти, она предложила сразу определение группы Бетти как дополнительного фактора () группы группы всех циклов по подгруппе циклов гомологичных нулю. Это наблюдение теперь кажется очевидным. Но в те годы (1925-28), это была совершенно новая точка зрения.

Оригинальный текст (англ.)

When... she first became acquainted with a systematic construction of combinatorial topology, she immediately observed that it would be worthwhile to study directly the groups of algebraic complexes and cycles of a given polyhedron and the subgroup of the cycle group consisting of cycles homologous to zero; instead of the usual definition of Betti numbers, she suggested immediately defining the Betti group as the complementary (quotient) group of the group of all cycles by the subgroup of cycles homologous to zero. This observation now seems self-evident. But in those years (1925–28) this was a completely new point of view.

— П.Александров

Предложение Нётер, что топология должна изучаться алгебраическими методами было одобрено Хопфом, Александровым и другими, и это стало частой темой для обсуждения среди математиков Геттингена. Нётер отметила, что ее идея о группе Бетти делает формулу Эйлера-Пуанкаре более простой для понимания. Работа Хопфа на эту тему "несет на себе отпечаток этих замечаний Эмми Нётер".

Хельмут Хассе работал с Нётер и другими в поисках теории центральной простой алгебры

Третья эпоха (1927-1935)

Гиперкомплексные числа и теория представлений

Большая работа в области гиперкомплексных чисел и групповых представлений проводилась в девятнадцатом и начале двадцатого веков, но остался незаконченной. Нётер объединила все эти результаты и создала первую общую теорию представлений групп и алгебр. Нётер удалось соотнести теорию структуры ассоциативных алгебр и теории представлений групп в одной арифметической теории модулей и идеалов в кольцах. Эта работа Нётер имела принципиальное значение для развития современной алгебры.

Некоммутативная алгебра

Нётер также была ответствена за ряд других достижений в области алгебры. С Эмилем Артином, Ричардом Брауэром, и Гельмутом Хассе, она создала теорию центральных простых алгебр.

Статья Нётер, Гельмута Хассе и Ричарда Брауэра относится к алгебр с делением, в которых возможно разделение алгебраической системы. Они доказали, две важных теоремы: теорема о том, что если конечная центральная алгебра с делением над числовым полем расщепляется на местах повсюду, то она распадается на глобальном уровне, из этого выводится основная теорема: каждая конечная центральная алгебра с делением над полем алгебраических чисел F раскалывается над циклическим круговым расширением.

Оценка и признание

Эмми Нётер-кампус в университете Зигена — место математических и физических ведомств.

Работы Нётер по-прежнему актуальны для развития теоретической физики и математики. Она является одним из величайших математиков двадцатого века. В некрологе голландский математик Бартель Ван дер Варден сказал, что математическое своеобразие Нётер было «абсолютно вне конкуренции», и Герман Вейль заявил, что Нётер «изменила лицо алгебры своей работой». При жизни и до сегодняшнего дня многие считают Нётер величайшей женщиной-математиком в истории, среди них Павел Александров, Герман Вейль и Жан Дьедонне.

2 января 1935 года, за несколько месяцев до ее смерти, математик Норберт Винер написал, что

"Мисс Нётер это … величайшая женщина-математик когда-либо живущая … и ученый, сравнимый, в этом понимании, с мадам Кюри.

Оригинальный текст (англ.)

Miss Noether is... the greatest woman mathematician who has ever lived; and the greatest woman scientist of any sort now living, and a scholar at least on the plane of Madame Curie.

На Всемирной выставке в 1964, посвященной современной математике, Нётер была единственной представительницей женщин, среди заметных математиков в современного мира.

Нётер была удостоена нескольких мемориалов:

• Ассоциация женщин-математиков читает лекцию имени Нётер в честь женщин в математике каждый год; Ассоциация характеризует Нётер, как «одину из великих математиков своего времени, Нётер работала и боролась за то, что она любила и во что верила».
• Преданные Нётер студенты математического и физического отделений Университета Зигена построили Кампус имени Эмми Нётер.
• Немецкий исследовательский фонд (Немецкое исследовательское общество) учредил стипендию имени Эмми Нётер, обеспечивающую финансирование перспективных молодых ученых, для их дальнейших научно-исследовательских и учебных практик.
• Улица в родном городе Нётер Эрлангене названа ее именем и именем ее отца — Макса Нётера.
• Средняя школа в Эрлангене была переименована в Школу имени Эмми Нётер.
• Институт теоретической физики ежегодно награждает премией Эмми Нётер выдающихся женщин физиков-теоретиков . Территория института является домом для Совета Эмми Нётер.
• В 1970 г. Международный астрономический союз присвоил имя Эмми Нётер кратеру на обратной стороне Луны.

Одноименные математические темы

• Нётеровость
• Нётерово кольцо
• Нётеров модуль
• Нётерово пространство

• Нётерова индукция
• Схема Нётер
• Лемма нормализации Нётер
• Проблема Нётер

• Теорема Нётер
• Вторая теорема Нётер
• Теорема Ласкера — Нётер
• Теорема Сколем-Нётер

Литература

Избранные работы Эмми Нетер (на немецком языке)

• Noether, Emmy (1908), "Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form", Journal für die reine und angewandte Mathematik (нем.), 134, DE: Uni Göttingen: 23–90 and two tables, doi:10.1515/crll.1908.134.23 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).
• ——— (1913), "Rationale Funktionenkörper", J. Ber. D. DMV (нем.), 22, DE: Uni Göttingen: 316—19 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).
• ——— (1915), "Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher Gruppen" (PDF), Mathematische Annalen (нем.), 77, DE: Digizeitschriften: 89—92, doi:10.1007/BF01456821 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка)
• ——— (1918), "Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe", Mathematische Annalen (нем.), 78: 221—29, doi:10.1007/BF01457099 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).
• ——— (1918b), "Invariante Variationsprobleme", Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. (нем.), 1918, Göttingen: Math-phys. Klasse: 235—257 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка). English translation by M. A. Tavel (1918), arXiv:physics/0503066.
• ——— (1921), "Idealtheorie in Ringbereichen" (PDF), Mathematische Annalen (нем.), 83 (1), Metapress, doi:10.1007/bf01464225, ISSN 0025-5831 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).
• ——— (1923), "Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten" (PDF), Mathematische Annalen (нем.), 88, DE: Digizeitschriften: 53—79, doi:10.1007/BF01448441.
• ——— (1923b), "Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie" (PDF), Mathematische Annalen (нем.), 90 (3—4), DE: Digizeitschriften: 229—61, doi:10.1007/BF01455443.
• ——— (1924), "Eliminationstheorie und Idealtheorie", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (нем.), 33, DE: Uni Göttingen: 116—20.
• ——— (1926), "Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p", Nachr. Ges. Wiss (нем.), DE: Uni Göttingen: 28—35 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).
• ——— (1926b), "Ableitung der Elementarteilertheorie aus der Gruppentheorie", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (нем.), 34 (Abt. 2), DE: Digizeitschriften: 104 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).
• ——— (1927), "Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern" (PDF), Mathematische Annalen (нем.), 96 (1): 26—61, doi:10.1007/BF01209152 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).
• Brauer, Richard; Noether, Emmy (1927), "Über minimale Zerfällungskörper irreduzibler Darstellungen", Sitz. Ber. D. Preuss. Akad. D. Wiss. (нем.): 221—28 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).
• Noether, Emmy (1929), "Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie", Mathematische Annalen (нем.), 30: 641—92, doi:10.1007/BF01187794 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).
• Brauer, Richard; Hasse, Helmut; Noether, Emmy (1932), "Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren", Journal für Math. (нем.), 167, DE: Uni Göttingen: 399—404 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).
• Noether, Emmy (1933), "Nichtkommutative Algebren", Mathematische Zeitschrift (нем.), 37: 514—41, doi:10.1007/BF01474591 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).
• ——— (1983), Jacobson, Nathan (ed.), Gesammelte Abhandlungen (нем.), Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. viii, 777, ISBN 3-540-11504-8, MR 0703862 {{citation}}: Неизвестный параметр |trans_title= игнорируется (|trans-title= предлагается) (справка).

Дополнительные источники

• Dick, Auguste (1981), Emmy Noether: 1882–1935, Boston: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3019-8. Trans. H. I. Blocher.
• Kimberling, Clark (1981), "Emmy Noether and Her Influence", in Brewer, James W; Smith, Martha K (eds.), Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, pp. 3—61, ISBN 0-8247-1550-0.
• Lederman, Leon M.; Hill, Christopher T (2004), Symmetry and the Beautiful Universe, Amherst: Prometheus Books, ISBN 1-59102-242-8.
• Osen, Lynn M. (1974), "Emmy (Amalie) Noether", Women in Mathematics, MIT Press, pp. 141—52, ISBN 0-262-15014-X.
• Alexandrov, Pavel S. (1981), "In Memory of Emmy Noether", in Brewer, James W; Smith, Martha K (eds.), Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, pp. 99—111, ISBN 0-8247-1550-0.
• Fleischmann, Peter (2000), "The Noether bound in invariant theory of finite groups", Advances in Mathematics, 156 (1): 23—32, doi:10.1006/aima.2000.1952, MR 1800251.
• Fogarty, John (2001), "On Noether's bound for polynomial invariants of a finite group", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 7 (2): 5—7, doi:10.1090/S1079-6762-01-00088-9, MR 1826990, Дата обращения: 16 июня 2008
• Gilmer, Robert (1981), "Commutative Ring Theory", in Brewer, James W; Smith, Martha K (eds.), Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, pp. 131—43, ISBN 0-8247-1550-0.
• Gordan, Paul (1870), "Die simultanen Systeme binärer Formen", Mathematische Annalen (нем.), 2 (2): 227—280, doi:10.1007/BF01444021.
• Hasse, Helmut (1933), "Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper", Mathematische Annalen (нем.), 107: 731—760, doi:10.1007/BF01448916.
• Hilbert, David (December 1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen (нем.), 36 (4): 473—534, doi:10.1007/BF01208503.
• Mac Lane, Saunders (1981), "Mathematics at the University of Göttingen 1831–1933", in Brewer, James W; Smith, Martha K (eds.), Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, pp. 65—78, ISBN 0-8247-1550-0.
• Malle, Gunter; Matzat, Bernd Heinrich (1999), Inverse Galois theory, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62890-3, MR 1711577.
• Taussky, Olga (1981), "My Personal Recollections of Emmy Noether", in Brewer, James W; Smith, Martha K (eds.), Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, pp. 79—92, ISBN 0-8247-1550-0.
• ——— (1985), A History of Algebra: from al-Khwārizmī to Emmy Noether, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-13610-X.
• Weyl, Hermann (1935), "Emmy Noether", Scripta Mathematica, 3 (3): 201—220, reprinted as an appendix to Dick (1981).
• Weyl, Hermann (1944), "David Hilbert and his mathematical work", Bulletin of the American Mathematical Society, 50 (9): 612—654, doi:10.1090/S0002-9904-1944-08178-0, MR 0011274.