Пи (число)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск
У этого термина существуют и другие значения, см. Пи (значения).
Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи».
Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи».

Число π (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».

Число π впервые возникло в геометрии как отношение длины окружности к длине её диаметра, однако оно появляется и в других областях математики. Число π иррационально и трансцендентно.

Содержание

[править] История

Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

[править] Оценки

  • 510 знаков после запятой:
    π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

[править] Свойства

[править] Соотношения

Известно много формул с числом π:

\frac2\pi= \frac{\sqrt{2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots
\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
e^{\pi i} + 1 = 0\;
\int_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}

[править] Трансцендентность и иррациональность

Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1767 году путём разложения числа \frac{e-1}{2^n} в непрерывную дробь. В 1794-м Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π2.

В 1882 г. профессору Кёнигсбергского, позже Мюнхенского университетов Фердинанду Линдеману удалось доказать трансцендентность числа π. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 г. Его доказательство приложено к работе «Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в Гёттингене в 1908 г.

Поскольку в геометрии Евклида площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.

До сих пор неизвестно, является ли π нормальным числом.

[править] История вычисления

Архимед, возможно, первым предложил способ вычисления π математическим способом. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Так, для шестиугольника (см. рисунок) получается 3 < \pi < 2\sqrt{3}.

Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку 3+\frac{10}{71} < \pi <3+\frac{1}{7}.

В древнекитайских трудах попадаются самые разные оценки, из которых самая точная — это известное китайское число 355/113. Цзу Чунчжи (V век) даже считал это значение точным.

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 62832/20000 = 3,1416…

Заслуживает упоминания результат арабского математика Гиясэддина Джемшид ибн Масуд ал-Каши, завершившего в 1424 году труд под названием «Трактат об окружности», в котором он приводит 17 цифр числа π (из них 16 верных).

Лудольф ван Цейлен (1536—1610) затратил десять лет на вычисление числа π с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n=60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Cirkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа π. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число π иногда называли «лудольфовым числом».

В Новое время для вычисления π используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

Первую эффективную формулу нашёл в 1706 Джон Мэчин (John Machin):

\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}

Разложив арктангенс в ряд Тейлора, можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа π с большой точностью. Эйлер, автор обозначения π, получил 153 верных знака.

В 1873 году англичанин В. Шенкс потратил 15 лет и вычислил 707 знаков; правда, начиная с 527-го знака, все они оказались ошибочными. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков π.

Очень быстро работают вычислительные алгоритмы, основанные на формулах Рамануджана

\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 \, 396^{4k}}

и Чудновского

\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 \, 640320^{3k + 3/2}}

В 1997 году Дэйвид Х. Бэйли, Питер Боруэйн и Саймон Плуфф открыли способ быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа π без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле

\pi = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^i}\left(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6}\right)

[править] Метод иглы Бюффона

В нем на разлинованную равноудаленными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна половине расстояния между соседними прямыми. (Так что игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну при каждом бросании). Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросаний стремится к Пи при увеличении числа бросаний до бесконечности. Нужно сделать очень много испытаний, чтобы получить более-менее приличную точность приближения полученной дроби к Пи, а кроме того, при эксперименте надо внимательно следить, чтобы бросание иглы было «равновероятным»: метод иглы Бюффона существенным образом базируется на методах теории вероятностей. ([arbuz][1])

[править] Мнемонические способы для запоминания

Первые знаки числа π, перечисленные в стихотворной форме:

Чтоб запомнить цифры эти, (другой вариант: «Чтобы правильно запомнить» или «Чтобы нам не ошибиться»)
Нужно правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

или

Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

В следующем стихе упоминается большее число знаков \,\!\pi.

Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.

Мнемонические тексты, содержащие приблизительное значение \,\!\pi. Для его получения нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах стишка, и поставить запятую после первого знака.

Что я знаю о кругах?
Это я знаю и помню прекрасно,
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.


Учи и знай в числе известном
За цифрой цифру без ошибки

Ещё один стишок, к сожалению, устаревший из-за твёрдых знаков в конце слов.

Кто и шутя и скоро пожелаетъ
пи узнать число — ужъ знаетъ.

Ссылка http://www.arbuz.uz/gazeta_49.html дает прекрасный стих:

Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился…
Нам же дал
Головную боль старух,
 — Ух, опасен пуха дух.

Еще один эксцентричный куплет:

Это я знаю и помню прекрасно,
их многие числа мне лишни, напрасно (вариант: «пи многие знаки мне лишни, напрасны»)

И ещё один:

Вот и Миша и Алёша прибежали:
Пи узнать число они желали.

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа Пи принадлежит японцу Акира Харагучи (Akira Haraguchi). Он запомнил число Пи до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать все число целиком. Источник: http://www.iht.com/articles/ap/2006/10/04/asia/AS_ODD_Japan_Memorizing_Pi.php

[править] Забавные факты

  • Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа Пи.
    • Ещё одной датой, связанной с числом Пи, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа Пи.
  • В штате Индиана(США) широкую известность имеет название законопроект № 246 1897 года Генеральной Ассамблеи штата. Несмотря на популярную версию об установке оным числа Пи в значение 3.2, закон предполагал лишь утверждение квадратуры круга. Законопроект не стал законом, только благодаря вмешательству профессора математики из Пурде, который случайно оказался в ассамблее.
  • В некоторых американских школах для упрощения расчетов школьники начальных классов используют число Пи равное четырем.[источник?]

[править] Ссылки

п·о·р
Числа с собственными именами
Вещественные Золотое сечение | Число Эйлера e | Пи | Число Скьюза
Натуральные Чёртова дюжина | Число зверя | Число Рамануджана — Харди
Степени десяти Мириада | Гугол | Асанкхейя | Гуголплекс
Степени тысячи Тысяча | Миллион | Миллиард | Биллион | Триллион ... | ... Центиллион | Зиллион
Степени двенадцати Дюжина | Гросс | Масса
Литературные меры счёта Доцанд | Мириад

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_%28%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%29»