Верзиера

Обзорная статья: Окружность

Верзиера

Верзие́ра (иногда ло́кон Анье́зи) (англ. witch of Agnesi — ведьма Аньези; англ. versiera — ведьма с итальянского) — плоская кривая, геометрическое место точек $M$, для которых выполняется соотношение $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$, где $OA$ — диаметр окружности, $BC$ — полухорда этой окружности, перпендикулярная $OA$. Своё название верзиера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

Устаревший термин верзье́ра Анье́зи.

Обобщения верзиеры:

• аньезиана — прямая $AL$ занимает произвольное положение, перпендикулярное $OA$;
• агвинея Ньютона — не только прямая $AL$, но и полюс $O$ занимает произвольное положение на $OA$.

История

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзиерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус.

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзиерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch). Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi.

Синонимы

В источниках встречаются следующие синонимы верзиеры.

• Наиболее известный синоним — локон Аньези (англ. Agnesi curl). Это курьезное название, возможно, исторически не обосновано.
• Естественное название по классификации кривой — кубика Аньези (англ. cubic of Agnesi).
• Естественное название по форме кривой — колоколообразная кривая Коши (англ. bell curve of Cauchy).
• Устаревшие названия:

• верзьера Аньези;
• аньезера ;
• версьера .

Уравнения

$O=(0,\,0),\,$ $A=(0,\,a).$

• В прямоугольной системе координат:

$y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}.$

Вывод

Координаты точки $M$, лежащей на верзиере — это $x=BM,\,$ $y=OB.\,$ Далее, $OA=a$ и по определению строим пропорцию

${\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}.$

Отсюда

$BC={\frac {xy}{a}}.$

С другой стороны, $BC$ может быть найден из уравнения окружности

$\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}.$

Нам известен $y=OB$, значит, выражаем $x^{2}:$

$x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}.$

Приравниваем оба выражения для $BC:$

${\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}.$

Возводим в квадрат, переносим и выносим $y^{2}$ за скобки:

$\left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay.$

Выражаем y (y = 0 не подходит по определению):

$y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}.$

Если $a$ — это не диаметр, а радиус окружности, то уравнение такое:

$y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}.$

• Параметрическое уравнение:

${\begin{cases}x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi ,\\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases}},$

где $\varphi$ — угол между $OA$ и $OC,\,$ $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant \varphi \leqslant {\frac {\pi }{2}}.$

Вывод

Координаты точки $M$ однозначно определяются углом $\varphi$ между $OB$ и $OC$. Если $OB=y$, а $BM=x$, то по определению верзиеры можно составить пропорцию

${\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}.$

$OA$ по предположению равен $a$. Из треугольника $OBC$: $BC=y\,\operatorname {tg} \,\varphi$, значит,

${\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg} \,\varphi }},$

отсюда $x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi$. Эту формулу подставляем в уравнение кривой:

$y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}.$

$y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}.$

Используя тождество, получаем

$y=a\cos ^{2}\varphi .$

• В полярной системе уравнение верзиеры достаточно сложное, чтобы найти его, необходимо решить кубическое уравнение:

$\rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi }},$

$\rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0.$

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства

Свойства верзиеры:

• верзиера — кривая третьего порядка;
• диаметр $OA$ — единственная ось симметрии кривой;
• кривая имеет один максимум $A(0;a)$ и две точки перегиба $P_{1,2}\left(\pm {\frac {a}{\sqrt {3}}},\,{\frac {3a}{4}}\right);$
• в окрестности вершины $A$ верзиера приближается к окружности диаметра $OA$. В точке $A$ происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке $A$: $R_{A}={\frac {a}{2}};$
• площадь под графиком $S=\pi a^{2}$. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему $\mathbb {R} ;$
• объём тела вращения верзиеры вокруг своей асимптоты (оси $OX$) $V={\frac {\pi ^{2}a^{3}}{2}}.$

Построение

Построение верзиеры

Строится окружность диаметра $a$ и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится произвольная прямая через выбранную точку касательной, которая пересекается с окружностью и касательной прямой в точке окружности, противоположной началу координат. Через точку пересечения произвольной прямой с окружностью строится прямая, параллельная касательным. Точка верзиеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра, опущенного из точки пересечения произвольной прямой к касательной в точке, противоположной началу координат (см. рисунок справа).

Интересные факты

• Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзиерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.

Источники

• Аньези локон // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1970. Т. 2. Ангола — Барзас. 1970. 632 с. с илл., 32 л. илл., 14 л. карт. С. 115.
• Аньези локон // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 75.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: АСТ: Астрель, 2006. 991 с., ил. ISBN 5-17-012238-1 (ООО «Издательство ACT»). ISBN 5-271-03651-0 (ООО «Издательство Астрель»).
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Гостехиздат, 1956. 783 с., черт.
• Иванов А. Б. Аньези локон // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 297.
• Линия // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1973. Т. 14. Куна — Ломами. 1973. 624 с. с илл., 32 л. илл., 6 л. карт. С. 466—470.
• Локон красавицы и арбалет великана: тренажер «Нитка» — прошлое и будущее. 04.02.2012, 07:25 // НТВ.Ru Архивная копия от 30 марта 2018 на Wayback Machine
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложенипем дискеты «Плоские кривые». М.: ФАЗИС, 1997. 334 с., ил. ISBN 5-7036-0027-8.
• Pietro Fanfani. Vocabolario dell' uso toscano. P. 334. Pietro Fanfani. Vocabolario dell' uso toscano. P. 334 // Google Книги Архивная копия от 2 мая 2014 на Wayback Machine
• Ferréol Robert. Witch of Agnesi // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 25 августа 2023 на Wayback Machine
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
• Truesdell C. Corrections and Additions for “Maria Gaetana Agnesi” // Archive for History of Exact Sciences. 1992. Vol. 43. P. 385–386. doi=10.1007/BF00374764 Truesdell C. Corrections and Additions for “Maria Gaetana Agnesi” // Springer Link Архивная копия от 31 июля 2023 на Wayback Machine
• Weisstein Eric W. Witch of Agnesi // Wolfram MathWorld Архивная копия от 8 мая 2022 на Wayback Machine

Ссылки

• Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов  (неопр.). Дата обращения: 13 января 2012.
• Анимация построения (англ.). Дата обращения: 13 января 2012. Архивировано 14 марта 2012 года.
• Leslie Pacher. The mathematical “Witch” (англ.). Дата обращения: 13 января 2012. Архивировано из оригинала 14 марта 2012 года.