Циссоида Диокла

Отпатрулированная версия этой страницы, проверенная 13 июня 2019, была основана на этой версии.

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по $OX$ , а ось ординат по $OY$ , на отрезке $OA=2a$ , как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке $A$ проводится касательная $UV$ . Из точки $O$ проводится произвольная прямая $OF$ , которая пересекает окружность в точке $E$ и касательную в точке $F$ . От точки $F$ , в направлении точки $O$ , откладывается отрезок $FM$ , длина которого равна длине отрезка $OE$ . При вращении линии $OF$ вокруг точки $O$ , точка $M$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнения

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=

=2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=

=2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).

Параметрическое уравнение циссоиды:

x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},

y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},

где

u=\mathrm {tg} \,\varphi

.

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка $P$ , которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке $E$ ; ось симметрии — диаметр $BD$ . Из точки $P$ проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка $M$ , принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой $OE$ . Этим методом Диокл построил только кривую $DOB$ внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды ( $DOB$ ) замкнуть дугой окружности $EAD$ , то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — χισσος («хиссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Свойства

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках $B$ и $D$ , которые принадлежат диаметру этой окружности.
Циссоида имеет один касп и асимптоту $UV$ , уравнение которой: $x=2a$ , где $a$ — радиус вспомогательной окружности.
Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является ассимптотой циссоиды.^[1]