Преобразование Фурье
Преобразование Фурье | |
---|---|
![]() | |
Краткое имя или название | FT |
Названо в честь | Жан-Батист Жозеф Фурье |
Определяющая формула | [1] |
Обозначение в формуле | , , и |
Обратно к | обратное преобразование Фурье[вд] |
![]() |
Преобразование Фурье́ (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую (вообще говоря, комплекснозначную) функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.
Определение
[править | править код]Преобразование Фурье функции f, зависящей от одной вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:
Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором множителя перед интегралом (так называемого нормировочного множителя, который относится к вопросу о нормировке преобразования Фурье), а также знака «−» в показателе экспоненты. Но вне зависимости от таких вариаций все свойства будут сохранять свою силу, хотя вид некоторых формул может измениться.
Общая формула всех вариантов определения преобразования Фурье с параметрами и выглядит как[источник не указан 44 дня]
Обратное преобразование определяется так
При выборе и или формулы становятся особенно просты, в них исчезают нормировочные множители и формулы различаются только знаком степени, вследствие чего большинство нижеприведённых формул упрощается на постоянные константы.
Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия (см. ниже).
Свойства
[править | править код]Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса , преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:
- Преобразование Фурье является линейным оператором:
- Справедливо равенство Парсеваля: если , то преобразование Фурье сохраняет -норму:
Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство . Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех .
- Формула обращения:
справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция является достаточно гладкой. Если , то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.
Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний с частотами , амплитудами и фазовыми сдвигами соответственно.
- Теорема о свёртке: если , тогда
- , где
Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.
- Преобразование Фурье и дифференцирование. Если , то
Из этой формулы легко выводится формула для -й производной:
Формулы верны и в случае обобщённых функций.
- Преобразование Фурье и сдвиг.
Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией , а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.
- Преобразование Фурье и растяжение.
- Формула суммирования Пуассона для принятого в данной статье определения:
- Данные формулы могут быть получены из классической формулы суммирования Пуассона, которая задана для другой формы определения преобразования Фурье.
- Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):
Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.
Теперь определим его двойственное пространство . Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции её преобразованием Фурье называется обобщённая функция , действующая на основные функции по правилу
Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:
Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа .
Принцип неопределённости
[править | править код]Вообще говоря, чем больше концентрация f(x), тем более размазанным должно быть её преобразование Фурье f̂(ω). В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно представить так: если сжать функцию в x раз, то её преобразование Фурье растягивается в ω раз. Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и её преобразование Фурье.
Компромисс между уплотнением функции и её преобразованием Фурье можно формализовать в виде принципа неопределённости, рассматривая функцию и её преобразование Фурье как сопряжённые переменные относительно симплектической формы на время-частоту: c точки зрения линейного канонического преобразования, преобразование Фурье является поворотом на 90° во временно-частотной области и сохраняет симплектическую форму.
Предположим, что f(x) — интегрируемая и квадратично-интегрируемая функция. Тогда норма выражается как
Из теоремы Планшереля следует, что f̂(ω) также нормировано.
Разброс вокруг математического ожидания может быть измерен дисперсией, определяемой как
- .
В терминах вероятности это центральный второй момент функции .
Принцип неопределённости гласит, что если f(x) абсолютно непрерывна, а функции x f(x) и f′(x) квадратично-интегрируемы, то
- ,
где нормировочный множитель перед преобразованием Фурье равен , при нормировочном множителе, равном , правое выражение переходит в . Извлекая корни из обоих выражений, правое выражение становится и соответственно, определяет половину ширины окна (стандартное отклонение).
Равенство достигается только в случае
где σ > 0 произвольно и так, что f является L2-нормированным. Другими словами, где f — (нормированная) функция Гаусса с дисперсией σ2, центрированная на нуле, а её преобразование Фурье — гауссовская функция с дисперсией σ-2.
Фактически, из этого неравенства следует, что:
для любого x0, ω0 ∈ R.
В квантовой механике импульс и положение волновой функции являются парами преобразований Фурье с точностью до постоянной Планка. При правильном учёте этой постоянной, неравенство выше становится утверждением принципа неопределённости Гейзенберга.
Более сильным принципом неопределённости является принцип неопределённости Хиршмана, который выражается как:
где H(p) — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности p(x):
- ,
где логарифмы могут быть в любой последовательной базе. Равенство достигается для функции Гаусса, как и в предыдущем случае.
Применения
[править | править код]Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:
- Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина).
- Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
- Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо).
- По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
- Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Разновидности
[править | править код]Многомерное преобразование
[править | править код]Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве , определяется формулой
Здесь и — векторы пространства , — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задаётся формулой
Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида с амплитудами , частотами и фазовыми сдвигами соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.
Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:
- Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:
- Изменяется константа в теореме о свёртке:
- Преобразование Фурье и сжатие координат:
- Более общо, если — обратимое линейное отображение, то
Ряды Фурье
[править | править код]Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для -периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:
Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.
Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой -периодической функции имеем
Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках и равно нулю вне их.
Дискретное преобразование
[править | править код]Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.
Пусть — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен . Выберем какие-нибудь точек на комплексной плоскости . Теперь многочлену мы можем сопоставить новый набор из чисел: . Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел существует единственный многочлен степени не выше с такими значениями в соответственно (см. Интерполяция).
Набор и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора . В качестве точек обычно выбирают корни -й степени из единицы:
- .
Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины напрямую требует порядка операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка операций.
Оконное преобразование
[править | править код]где даёт распределение частот (вообще говоря, несколько искажённое) части оригинального сигнала в окрестности момента времени .
Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье — так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию , причём эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.
На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.
Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Keysight Technologies (США), Rohde & Schwarz (Германия), Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.
Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.
Другие варианты
[править | править код]Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.
Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему о свёртке, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.
Интерпретация в терминах времени и частоты
[править | править код]В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.
Когда функция является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции представляет амплитуды соответствующих частот (), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.
Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.
Важные формулы
[править | править код]Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье. и обозначают Фурье компоненты функций и , соответственно. и должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.
Соотношения в этой таблице и в особенности множители, такие как , зависят от соглашения, какая форма определения для преобразования Фурье использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).
Функция | Образ | Примечания | |
---|---|---|---|
1 | Линейность | ||
2 | Запаздывание | ||
3 | Частотный сдвиг | ||
4 | Если большое, то сосредоточена около нуля, и становится плоским | ||
5 | Свойство преобразования Фурье от -й производной | ||
6 | Это обращение правила 5 | ||
7 | Запись означает свёртку и . Это правило — теорема о свёртке | ||
8 | Это обращение 7 | ||
9 | означает дельта-функцию Дирака | ||
10 | Обращение 9. | ||
11 | Здесь — натуральное число, — -я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов | ||
12 | Следствие 3 и 10 | ||
13 | Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера | ||
14 | Также из 1 и 12 | ||
15 | Показывает, что функция Гаусса совпадает со своим изображением | ||
16 | Прямоугольная функция — идеальный фильтр нижних частот, а функция sinc(x) — её временной эквивалент | ||
17 | Здесь — функция sgn. Это правило согласуется с 6 и 10 | ||
18 | Обобщение 17 | ||
19 | Обращение 17 | ||
20 | Здесь — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19 |
См. также
[править | править код]- Ортогональные функции
- Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
- Вейвлет
- Чирплет
- Преобразование Гильберта — Хуанга
- Гильбертово пространство
Примечания
[править | править код]- ↑ 2-19.1 // ISO 80000-2:2019Quantities and units — Part 2: Mathematics — 2 — Международная организация по стандартизации, 2019. — 36 с.
Литература
[править | править код]- Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
- Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
- Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. — М.: СОЛОН-Пресс, 2005. — С. 576. — ISBN 5-980-03206-1.
- Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
- М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-983-40121-1.
Ссылки
[править | править код]- Интегральные преобразования Архивная копия от 11 июля 2007 на Wayback Machine EqWorld: Мир математических уравнений
- Online Computation of the transform or inverse transform
- «Преобразование Фурье» Архивная копия от 4 июля 2015 на Wayback Machine — перевод статьи An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained Архивная копия от 4 июля 2015 на Wayback Machine (англ.)
- Рональд Н. Брейсуэлл. Преобразование Фурье. Scientific American. В мире науки. № 8, 1989, стр. 48-56 Архивная копия от 24 мая 2017 на Wayback Machine