Овал Кассини
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Line_of_Cassini.svg/350px-Line_of_Cassini.svg.png)
Овал Кассини — кривая, являющаяся геометрическим местом точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа . Является частным случаем торического сечения и кривой Персея.
Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии, равном , является лемниската Бернулли.
В новое время кривая была введена (переоткрыта) астрономом Джованни Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс[1]. Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).
Вариации (другие случаи)
[править | править код]Кривая постоянной суммы расстояний до двух заданных точек — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянной разности — гипербола.
Уравнения
[править | править код]Расстояние между фокусами .
Вывод |
---|
Фокусы — и . Возьмём произвольную точку , найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к :
Возводим в квадрат обе части равенства: Раскрываем скобки в левой части: Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель: |
- Явное уравнение в прямоугольных координатах:
Вывод |
---|
Возводим в квадрат и раскрываем скобки: Приводим к виду Это квадратное уравнение относительно . Решив его, получим Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим: где положительный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю. |
- В полярной системе координат:
Вывод |
---|
Используя формулы перехода к полярной системе координат получим: Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество : Используем ещё одно тождество: : |
Особенности формы
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Animated_Line_of_Cassini.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/92/Animated_Line_of_Cassini_2.gif)
В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: — половина расстояния между фокусами и — корень квадратный из произведения расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения :
- , то есть при .
- Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При форма кривой стремится к двум точкам.
- , то есть
- Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.
- , то есть
- Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.
- , то есть
- У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью стремится к нулю, когда стремится к и к бесконечности, когда стремится к .
- , то есть
- , то есть при
- По мере увеличения (то есть стремления отношения к нулю) кривая стремится к окружности радиуса . Если , то отношение достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.
Свойства
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Cassini_oval.svg/375px-Cassini_oval.svg.png)
- Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
- Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
- Площадь кривой:
- При :
- При кривая вырождается в лемнискату Бернулли. Площадь, ограниченная всей кривой, равна .
- При :
- При имеет два абсолютных максимума и два минимума:
- Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса с центром в середине отрезка между фокусами.
- При кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:
- Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами .
- Радиус кривизны для представления в полярных координатах:
Применение
[править | править код]При двухпозиционной радиолокации областью обнаружения цели является фигура, ограниченная овалом Кассини, если принять в качестве одного его фокуса позицию источника излучения, а другого — позицию приёмника. Аналогично, в астрономии при наблюдении, например, астероидов, светящих отражённым светом Солнца, условия их обнаружения при заданной чувствительности телескопа описываются формулой овала Кассини. В этом случае границей обнаружимости будет поверхность, образованная вращением овала вокруг оси, соединяющей Солнце и наблюдателя.
Овалы Кассини на торе (тороиде)
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Tor-cass-1-3.svg/400px-Tor-cass-1-3.svg.png)
Овалы Кассини появляются как плоские сечения тора, но только тогда, когда секущая плоскость параллельна оси тора, а её расстояние до оси равно радиусу образующей окружности (см. рисунок).
Обобщения
[править | править код]- Овал Кассини является частным случаем лемнискаты.
- Овал Кассини — частный случай кривой Персея.
В частности, уравнение кривой Персея в декартовой системе координат
- .
при переходит в уравнение овала Кассини
См. также
[править | править код]- Лемниската Бута
- Лемниската Бернулли
- Плоская кривая
- Алгебраическая кривая
- Многофокусная алгебраическая кривая
- Овал Декарта
Литература
[править | править код]- Математическая энциклопедия (в 5 томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д — Коо, с. 759.
- Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике Архивная копия от 26 августа 2017 на Wayback Machine, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 с.
Примечания
[править | править код]- ↑ Е. Скляревский. Космические овалы Кассини Архивная копия от 5 декабря 2008 на Wayback Machine.