Треугольник Серпинского: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Mvk608 (обсуждение | вклад) шаблон |
Bopsulai (обсуждение | вклад) |
||
Строка 24: | Строка 24: | ||
* Треугольник Серпинского имеет [[топологическая размерность|топологическую размерность]] 1. |
* Треугольник Серпинского имеет [[топологическая размерность|топологическую размерность]] 1. |
||
* Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам). |
* Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам). |
||
* Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть |
* Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) [[Хаусдорфова размерность|Хаусдорфову размерность]] <math>=\ln3/\ln2\approx 1,585</math>. В частности, |
||
** треугольник Серпинского имеет нулевую [[мера Лебега|меру Лебега]]. |
** треугольник Серпинского имеет нулевую [[мера Лебега|меру Лебега]]. |
||
Версия от 08:04, 28 октября 2015
Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.
Построение
Итеративный метод
Середины сторон равностороннего треугольника соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность , пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.
Метод хаоса
- Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника .
- Вероятностное пространство разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
- Задаётся некоторая начальная точка , лежащая внутри треугольника .
- Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.
- Генерируется случайное число .
- Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
- Строится точка с новыми координатами: , где: — координаты предыдущей точки ; — координаты активной точки-аттрактора.
- Возврат к началу цикла.
Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
Свойства
- Треугольник Серпинского замкнут.
- Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
- Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
- Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность . В частности,
- треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.
Интересные факты
- Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
- Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии[1].
-
Построение итеративным методом
-
Построение методом хаоса
-
Иллюстрация свойства самоподобия
Примечания
Ссылки
- Медиафайлы по теме Треугольник Серпинского на Викискладе
- Weisstein, Eric W. Sierpiński Sieve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.