Сложение

Показать равенство 3 + 2 = 5 при помощи яблок — популярный выбор в учебниках

Сложе́ние (часто обозначается символом плюса «+») — это одна из четырёх элементарных математических операций арифметики, вместе с вычитанием, умножением и делением. Сложение двух натуральных чисел есть общая сумма этих величин. Например, комбинация из трёх яблок и двух яблок в сумме дают 5 яблок. Это наблюдение эквивалентно алгебраическому выражению «3 + 2 = 5» то есть, «3 плюс 2 равно 5».

Помимо подсчёта фруктов, сложение можно представить, комбинируя другие физические объекты. Используя систематические обобщения, сложение можно представить в более абстрактных величинах, таких как целые числа, рациональные числа, вещественные числа и комплексные числа и в других абстрактных объектах, таких как векторы и матрицы.

В арифметике правила сложения дробей и отрицательных чисел были придуманы среди остальных правил. В алгебре сложение изучается более абстрактно.

У сложения есть несколько важных свойств. Свойство коммутативности означает, что порядок, в котором производится сложение, не имеет значения (то есть, сумма не меняется при изменении порядка), и свойство ассоциативности,которое означает, что если к какому-то числу прибавить два или более чисел, порядок, в котором проводится это сложение, не имеет значения, (см. Сумма). Неоднократное добавление 1 — это то же самое, что и подсчёт; добавление 0 не меняет сумму. Сложение также подчиняется правилам, касающихся операций вычитания и умножения.

Выполнить сложение — одна из простейших задач на исчисление. Сложение очень маленьких чисел понятно даже детям; основополагающая задача, 1 + 1, может быть решена 5-ти месячным ребёнком и даже некоторыми животными. В начальной школе учат считать в десятичной системе счисления, начиная со сложения простых чисел и постепенно переходя к более сложным задачам. Задача о наиболее эффективном осуществлении сложения, которая исследовалась на различных механических устройствах от древних абаков до современных компьютеров, актуальна до сих пор.

Формы записи и терминология

Символ плюса

Сложение записывается с использованием символа плюса «+» между слагаемыми; такая форма записи называется инфиксной нотацией. Результат записывается с использованием знака равенства. Например,

$1+1=2$ («один плюс один равно два»)

$2+2=4$ («два плюс два равно четыре»)

$3+3=6$ («три плюс три равно шесть»)

$5+4+2=11$ (см. «ассоциативность» ниже)

$3+3+3+3=12$ (см. «умножение» ниже)

Сложение в столбик:
5 + 12 = 17

Бывают такие ситуации, когда подразумевается использование сложения, но при этом символы сложения не используются:

• Если имеется столбец чисел, последнее (нижнее) число в котором подчеркнуто, то обычно подразумевается, что все числа в этом столбце складываются, а полученная сумма записывается ниже подчеркнутого числа.
• Если имеется запись, когда перед дробью стоит целое число, то эта запись означает сумму двух слагаемых — целого числа и дроби, которую называют смешанным числом. Например,
  3½ = 3 + ½ = 3.5.
  Такая запись может вызвать путаницу, поскольку, в большинстве случаев, подобная запись означает умножение, а не сложение.

Сумма ряда связанных чисел может быть записана с использованием символа сигма, который позволяет компактно записать итерацию. Например,

$\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.$

Числа или объекты, которые складываются друг с другом, называются слагаемые.

Интерпретации

Сложение используется для моделирования бесчисленного множества физических процессов. Даже для простого сложения натуральных чисел существует много различных интерпретаций и ещё больше визуальных процессов.

Комбинирование наборов

Возможно, самая фундаментальная интерпретация сложения - это комбинирование наборов:

• Если два или более не пересекающихся наборов объектов объединены в один набор, то число объектов в полученном наборе равно сумме числа объектов в данных наборах.

Эту интерпретацию легко визуализировать, при этом опасность двусмысленности будет минимальной. Это также полезно в высшей математике; чтобы посмотреть строгое определение, см. Натуральные числа ниже. Однако, не понятно, как с помощью этой интерпретации сложения объяснить сложение дробных или отрицательных чисел.

Одним из возможных решений является рассмотрение набора объектов, которые могут быть легко разделены, например, пироги или стержни с сегментами. Вместо комбинирования наборов сегментов, стержни могут быть присоединены друг к другу концами, что иллюстрирует другую концепцию сложения: складываются не стержни, складываются их длины.

Расширение длины

Визуализация суммы 2 + 4 = 6 на числовой прямой.

Еще один вариант визуализации суммы 2 + 4 = 6 на числовой прямой.

Вторая интерпретация сложения лежит в расширении начальной длины на величину длины, которая добавляется к ней:

• Когда начальная длина расширяется добавляемой длиной, то полученная длина равна сумме начальной длины и длины, которую к ней добавили.

Сумму a + b можно интерпретировать как бинарную операцию которая комбинирует a и b, в алгебраическом понимании, или её можно интерпретировать как добавление b единиц к числу a. По последней интерпретации, части суммы a + b играют арифметические роли, и операция a + b рассматривается как применение к числу a унарной операции +b. С унарной точки зрения полезно рассматривать вычитание, ведь каждая унарная операция сложения имеет обратную унарную операцию вычитания и наоборот.

Свойства

Коммутативность

Визуализация 4 + 2 = 2 + 4 при помощи блоков

Сложение коммутативно: можно изменять порядок слагаемых в сумме и результат от этого не изменится. В символьной записи: если a и b — какие-то два числа, тогда

a + b = b + a.

Факт, что сложение коммутативно известен как «коммутативный закон сложения». Эта фраза означает, что есть и другие законы коммутативности: например, существует коммутативный закон умножения. Тем не менее, многие бинарные операции, такие как вычитание и деление, не коммутативны поэтому, было бы ошибочно говорить просто «коммутативный закон».

Ассоциативность

Визуализация 2+(1+3) = (2+1)+3 при помощи стержней с сегментами

Сложение ассоциативно: при сложении трёх или более чисел, порядок не имеет значения.

Например, сумма a + b + c означает (a + b) + c или a + (b + c)? Свойство ассоциативности сложения говорит нам, что выбор одного из предложенных вариантов не имеет значения. Для любых чисел a, b, и c, будет справедливо равенство (a + b) + c = a + (b + c). Например, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Когда сложение используется вместе с другими операциями, порядок становится важным. В обычном порядке операций, сложение имеет более низкий приоритет, чем возведение в степень, извлечение корня, умножение и деление, но имеет одинаковый приоритет с операцией вычитания.

Нейтральный элемент

Визуализация 5 + 0 = 5 при помощи сумок с точками

Если добавить ноль к любому числу, значение этого числа не изменится; ноль — это нейтральный элемент для операции сложения, также известный как аддитивная единица. Символьная запись: для любого a,

a + 0 = 0 + a = a.

Этот закон был впервые описан в Исправленном трактате Брахмы, который был написан Брахмагуптой в 628 г.н. э. Он написал этот закон, как три отдельных закона: для отрицательного, положительного, или нулевого числа a, и для описания этих законов он использовал слова, а не алгебраические символы. Позже индийские математики уточнили понятия; около 840 г.н. э., Махавира написал, «ноль становится таким-же, как то, что добавляется к нему», что соответствовало записи 0 + a = a. В 21 веке, Бхаскара II написал, «Если добавить ничего или вычесть ничего, количество, положительное или отрицательное, остаётся таким-же, как и было», что соответствовало записи a + 0 = a.

Следующее число

В целых числах, сложение единицы также играет особую роль: для любого целого числа a, целое число (a + 1) это число, на единицу большее, чем a, также известное как следующее число за числом a. Например, 3 — это следующее число за числом 2 и 7 — это следующее число за числом 6.

Единицы измерения

Чтобы складывать физические величины, их нужно выразить через общие единицы измерения. Например, если сложить 50 миллилитров и 150 миллилитров, получится 200 миллилитров. Однако, если к 5 футам прибавить 2 дюйма, в сумме получится 62 дюйма, потому что 60 дюймов это то же самое, что и 5 футов. С одной стороны, обычно бессмысленно пытаться сложить 3 метра и 4 квадратных метра, так как эти единицы измерения несравнимы; такое рассмотрение физических величин является фундаментальным в анализе размерности.

Выполнение сложения

Врождённая способность

Исследования развития математических способностей, которые начались в 1980-х годах, рассматривали феномен привыкания: младенцы смотрят дольше на ситуации, которые являются для них неожиданными. В эксперименте Карен Винн, который проводился в 1992 году, использовались куклы Микки Мауса, с которыми проводились различные манипуляции за ширмой. Этот эксперимент показал что пятимесячные младенцы ожидают, что 1 + 1 это 2, и удивляются тому, что в физической ситуации может подразумеваться, что 1 + 1 это или 1,или 3. Позже, аналогичные результаты были получены в различных лабораториях с использованием разных методов. В другом эксперименте, проводившимся в 1992 году с более старшими малышами, возрастом от 18 до 35 месяцев, рассматривалось, как будут развиваться моторные функции детей, если давать им доставать шарики для пинг-понга из коробки; младшие ребята хорошо справлялись с небольшим числом шариков, более старшие научились считать сумму до 5.

Даже некоторые животные показывают способность складывать, особенно приматы. В 1995 году эксперимент, аналогичный эксперименту Винн 1992 года, в котором использовались баклажаны вместо кукол, показал, что макаки-резусы и эдиповы тамарины показывают схожие человеческим младенцам способности. Более того, один шимпанзе, после того, как его научили различать и понимать смысл Арабских цифр то 0 до 4, смог считать сумму двух чисел без какой либо подготовки. Недавно было выяснено, что Азиатские слоны показывают способность выполнять основные арифметические операции.

Изучение сложения как ребёнок

Как правило, дети, для начала, учатся подсчету. Когда даётся задача, в которой требуется скомбинировать два предмета и три предмета, дети моделируют эту ситуацию с физическими объектами, часто сначала на пальцах или при помощи рисунка, а потом подсчитывают общую сумму. По мере приобретения опыта, они учат или открывают для себя стратегию «подсчета»: когда требуется найти, сколько будет два плюс три, дети перечисляют числа, идущие после числа три, пропуская два, говоря: «три, четыре, пять» (обычно загибая пальцы), и, в итоге, достигая пяти. Эта стратегия кажется почти универсальной; дети могут легко перенять её от сверстников или учителей. Многие дети обнаруживают её самостоятельно. Приобретая дополнительный опыт, дети учатся складывать более быстро, используя коммутативность сложения, начиная перечислять числа от самого большого числа в сумме, как в описанном выше случае, начиная с трёх и перечисляя: «четыре, пять.» В конце концов, дети начинают использовать какие-нибудь факты о сложении («число связей»), получая их либо опытным путем, либо запоминая их. Когда одни факты осядут в памяти, дети начинают получать неизвестные факты из известных. Например, ребёнок, у которого попросили сложить шесть и семь, может знать, что 6 + 6 = 12, и что поэтому 6 + 7 на один больше, то есть 13. Такие полученные факты могут быть обнаружены очень быстро и большинство учеников начальной школы при сложении, в конечном итоге полагаются на смесь всего того, что они запомнили и этих полученных фактов.

В разных нациях целые числа и арифметика изучаются в разных возрастах, в большом количестве стран сложению учат в заведениях дошкольного образования. Однако, во всем мире, сложение полностью изучается к концу первого года начальной школы.

Таблица сложения

Детям часто показывается таблица сложения пар чисел от 1 до 10 для лучшего запоминания. Зная эту таблицу, можно выполнить любое сложение.

Десятичная система

Сложение в десятичной системе основывается на 100 однозначных «фактах о сложении». Кто-то может запомнить все эти факты, заучивая их, но стратегии изучения сложения путём использования шаблонов более информативны и, для большинства людей, более эффективны:

• Коммутативное свойство: использование шаблона a + b = b + a снижает количество «фактов о сложении», которых нужно запомнить, от 100 до 55.
• На один или на два больше: Прибавление 1 или 2 — базовая задача, и решить её можно, полагаясь на интуицию.
• Ноль: Поскольку ноль является добавкой идентичности, прибавление нуля — тривиальная задача. Тем не менее, во время изучения арифметики, некоторым ученикам сложение представляется как процесс, во время которого слагаемые всегда увеличиваются; проблемы со словами могут помочь рационализировать «исключение» нуля.
• Удваивание: Складывание числа с самим собой связано с пересчетом два раза и умножением. Факты о удваивании являются основой для многих фактов, и ученикам легко их понять.
• Суммы, близкие к операции удваивания: Сумма 6 + 7 = 13 может быть быстро выведена из факта об удваивании 6 + 6 = 12, путём прибавления единицы, или из факта 7 + 7 = 14, но путём вычитания единицы.
• Пять и десять: Суммы вида 5 + x и 10 + x обычно запоминаются рано и могут быть использованы для выведения других фактов. Например, результат суммы 6 + 7 = 13 может быть выведен с использованием факта 5 + 7 = 12 добавлением к последнему единицы.
• Получение десятки: Существует такая стратегия, в которой 10 используется в качестве посредника в суммах, включающих в себя 8 или 9; например, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.

По мере взросления, ученики запоминают все больше фактов, и учатся быстро выводить из них другие факты. Многие ученики не запоминают все факты, но можно всегда быстро обнаружить любой элементарный факт.

Перенос

В стандартном алгоритме сложения двух многоразрядных чисел цифры, из которых состоят записи складываемых чисел, располагаются одна под другой, начиная справа. Если сумма цифр в столбце превышает десять, лишняя цифра «переносится» в следующий столбец. Например, в сумме 27 + 59

  ¹
  27
+ 59
————
  86

7 + 9 = 16, и знак 1 переносится в следующий столбец. В альтернативном способе сложения, добавляется наиболее значимый знак слева; эта стратегия делает перенос более неуклюжим, но с её помощью быстрее получается приблизительная сумма. Существует много альтернативных методов.

Сложение десятичных дробей

Способ сложения десятичных дробей является немного модифицированным способом сложения многоразрядных чисел, который описан выше. При сложении столбиком, дроби располагаются таким образом, чтобы запятые находились четко друг под другом. При необходимости, можно добавлять нули справа к более короткой дроби, чтобы сделать её равной по длине более длинной дроби. Наконец, сложение производится таким-же образом, как и в описанном выше способе сложения многоразрядных чисел, только запятая располагается в ответе точно там же, где она располагалась у слагаемых.

Например, сумму 45.1 + 4.34 можно вычислить следующим образом:

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

Экспоненциальная запись

Основная статья: Экспоненциальная запись

В экспоненциальной записи, числа записываются в виде $x=a\times 10^{b}$, где $a$ — мантисса и $10^{b}$ — характеристика числа. Для сложения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики.

Например:

$2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}$

Сложение в других системах счисления

Основная статья: Двоичная система счисления

Сложение на других основаниях очень похоже на сложение в десятичной системе. В качестве примера, можно рассмотреть сложение в двоичной системе счисления. Сложение двух одноразрядных двоичных чисел является довольно простым, с использованием переноса:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, переносится 1 (так как 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

Сумма двух знаков «1» равна знаку «0», а 1 должна быть добавлена в следующий столбец. Эта ситуация аналогична тому, что происходит в десятичной системе при суммировании определённых однозначных чисел; если результат равен или превышает значение основания системы счисления (10), цифры слева увеличиваются:

5 + 5 → 0, перенос 1 (так как 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, перенос 1 (так как 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Эта операция известна как «перенос». Когда результат сложения превосходит значение числа, процедура «переносит» избыток, разделённый на основание системы (10/10) налево, добавляя его к следующему позиционному значению. Перенос в двоичной системе счисления работает также, как и в десятичной системе:

  1 1 1 1 1    (перенесённые знаки)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

В этом примере, друг с другом складываются два числа: 01101₂ (13₁₀) and 10111₂ (23₁₀). В верхней строке указаны перенесённые знаки. Для начала, просуммируем числа в правом столбце, 1 + 1 = 10₂. Знак 1 переносится влево, а 0 записывается в нижней строке. Теперь складываются числа во втором столбце справа: 1 + 0 + 1 = 10₂; 1 переносится, а 0 записывается в нижней строке. Третий столбец: 1 + 1 + 1 = 11₂. В это время, 1 переносится, а 1 записывается в нижней строке. Таким образом, получаем окончательный ответ 100100₂ (или 36 в десятичной системе счисления).

Компьютеры

Сложение при помощи операционного усилителя.

Аналоговые компьютеры работают напрямую с физическими величинами, поэтому, их механизм сложения зависит от формы слагаемых. Механический сумматор может представлять два слагаемых в виде позиций скользящих блоков, в этом случае их можно складывать при помощи усредняющего рычага. Если слагаемые представлены в виде скоростей вращения двух валов, их можно сложить при помощи дифференциала. Гидравлический сумматор может складывать давления в двух камерах, используя второй закон Ньютона чтобы уравновесить силы на сборку поршней. Наиболее распространённая ситуация для применения аналогового компьютера — сложить два напряжения (относительно заземления); это может быть достигнуто при помощи схемы резистора, а в усовершенствованной версии используется операционный усилитель.

Сложение является важной частью операций в персональном компьютере, где оно является сдерживающим фактором для общей производительности, в частности, в механизме переноса.

Часть разностной машины Чарльза Бэббиджа включала в себя сложение и механизм переноса

Абак, также называемый счетной доской — это счетный прибор который использовался за много веков до принятия современной системы исчисления, и который все ещё широко используется купцами, торговцами и клерками в Азии, Африке, и других странах; предполагается, что абак создан в 2700—2300 до н. э., тогда он использовался шумерами.

Блез Паскаль изобрел механический калькулятор в 1642; это была первая операционная суммирующая машина. В этом калькуляторе механизм переноса осуществлялся при помощи гравитации. Это был единственный операционный калькулятор в 17 веке и самый ранний автоматический цифровой компьютер. Суммирующая машина Паскаля была ограничена своим механизмом переноса, который производился при помощи колес, которые нужно было повернуть в одну сторону, чтобы складывать числа. Чтобы вычитать, пользователь должен был использовать методы дополнения, которые включали в себя такое же количество шагов, как и сложение. Джованни Полени последовал за Паскалем, построив второй функциональный механический калькулятор в 1709 г., который мог перемножать два числа между собой автоматически.

«Сумматор» логической схемы, который складывает два бинарных знака, A и B, вместе с переносом вводных данных C_in, получая сумму разрядов, S, и перенося выходной сигнал, C_out.

Сумматоры выполняют целочисленное сложение в электронных числовых вычислительных машинах, обычно используя бинарную арифметику. В простейшей структуре происходит перенос слагаемого, который соответствует стандарту многоразрядного алгоритма. Одним небольшим улучшением является пропуск переноса, который действует похожим с человеческой интуицией образом; он не выполняет все переносы в сумме 999 + 1, он обходит группу девяток и перескакивает сразу к ответу.

На практике, сложение можно выполнять через сложение по модулю два и операцию «И» в сочетании с другими битовыми операциями, как показано ниже. Обе эти операции просто реализовать в цепях сумматоров которые, в свою очередь, могут объединяться в более сложные логические операции. В современных цифровых компьютерах, сложение в целых числах является самой простой операцией, однако, оно сильно воздействует на производительность, поскольку она лежит в основе всех операций с плавающей запятой а также в таких задачах как создание адресов во время доступа к памяти и выборка архитектуры набора команд во время порядка выполнения. Чтобы увеличить скорость, современные компьютеры вычисляют знаки параллельно; такие схемы называются выборкой переноса, предвидением переноса, и псевдопереносом. В большинстве случаев, реализация сложения на компьютере является гибридом последних трёх конструкций. В отличие от сложения на бумаге, сложение на компьютере часто изменяет слагаемые. На древнем абаке и доске для сложения, во время выполнения операции сложения оба слагаемых уничтожались, оставляя только сумму. Влияние абака на математическое мышление было настолько велико, что в латинских текстах часто утверждалось что в процессе сложения «числа с числом», оба числа исчезают. В высокоуровневом языке программирования, оценивание a + b не изменяет значение a или b; если ставится задача поменять местами a с суммой, то на это действие должен поступить запрос, обычно с записью a = a + b. В некоторых языках программирования, такие как C или C++ эта запись сокращается до a += b.

// Iterative Algorithm 
int add(int x, int y){
    int carry = 0;  
    while (y != 0){        
       carry = AND(x, y);   // Logical AND 
       x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
       y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one  
   } 
   return x;   
}
// Recursive Algorithm
int add(int x, int y){
   return x if (y == 0) else add(XOR(x, y) , AND(x, y) << 1); 
}

На компьютере, в случае если результат сложения слишком большой для хранения, происходит арифметическое переполнение, которое показывает неправильный ответ. Непредвиденное арифметическое переполнение является довольно распространённой причиной программных ошибок. Такие ошибки переполнения может быть трудно обнаружить и диагностировать, потому что они могут проявляться только при очень больших вводных наборах данных, которые редко когда используют в тестах. Одной такой примечательной ошибкой была проблема 2000 года, где ошибка переполнения, связанная с использованием двухзначного формата для обозначения года, вызвала значительные проблемы в 2000 г.

Сложение чисел

Для того, чтобы определить свойства сложения, для начала, нужно понять, в каком контексте употребляется слово «сложение». Под сложением можно понимать сложение натуральных чисел. В теории множеств, рассматривается сложение наборов (множеств), включающих натуральные числа: целые числа, рациональные числа, и вещественные числа. (В математических равенствах, положительные дроби, складываются до отрицательных чисел).

Натуральные числа

Есть два определения суммы двух натуральных чисел a и b. Если натуральные числа определяют мощность множества с конечным числом элементов, (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:

• Пусть N(S) — мощность множества S. Возьмем два не пересекающихся множества A и B, причём N(A) = a и N(B) = b. Тогда a + b можно определить следующим образом: $N(A\cup B)$.

Здесь, A U B — это объединение множеств A и B. Альтернативная версия этого определения позволяет множествам A и B перекрываться и тогда берется их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.

Другое известное определения рекурсивно:

• Пусть n⁺ — следующее за n натуральное число, например 0⁺=1, 1⁺=2. Пусть a + 0 = a. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: a + (b⁺) = (a + b)⁺. Отсюда 1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2.

Существуют различные литературные варианты этого определения. В литературе, описанное выше определение является применением Рекурсионной Теоремы в частично упорядоченном множестве N². С другой стороны, в некоторых источниках предпочитается использовать ограниченную Рекурсионную теорему, которая распространяется только на множество натуральных чисел. Одни предлагают временно «зафиксировать» a, применяя рекурсию на b чтобы определить функцию "a + ", и вставлять эти унарные операции для всех a чтобы сформировать полную бинарную операцию.

Это рекурсивное определение сложения было дано Дедекиндом ещё в 1854 году, и он расширил его в последующие десятилетия. Также Дедекиндом доказаны свойства ассоциативности и коммутативности, в частности, через математическую индукцию.

Целые числа

Сложить (−2) и 1, используя только положительные числа: (2 − 4) + (3 − 2) = 5 − 6.

Простейшая концепция целого числа заключается в том, что целое число состоит из его абсолютной величины и знака (как правило, число положительное или отрицательное). Целое число ноль — это особый, третий, случай. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Определение сложения зависит от ситуации:

• Пусть n — целое число и |n| - его абсолютное значение. Пусть a и b — целые числа. Если какое либо из чисел a или b равно нулю, то имеем дело с тождеством. Если a и b оба положительные, тогда a + b = |a| + |b|. Если a и b оба отрицательные, тогда a + b = −(|a|+|b|). Если a и b имеют разные знаки, то a + b — это разность между |a| и |b|, и знак перед этой разностью ставится такой, какой стоял перед слагаемым с наибольших абсолютным значением. Например, рассмотрим сумму: −6 + 4 = −2; так как числа −6 и 4 имеют разные знаки, надо рассмотреть разность их абсолютных значений, и так как абсолютное значение отрицательного числа, в данной ситуации, больше, чем абсолютное значение положительного, ответ будет отрицательным.

Хотя это определение может быть полезным для конкретных задач, довольно трудно делать какие-то общие доказательства, так как надо рассматривать слишком много случаев.

Гораздо более удобной концепцией целых чисел является построение групп Гротендика. Существенно в этой концепции то, что каждое целое число может быть представлено (не однозначно) как разность двух натуральных чисел, поэтому мы можем определить целое число, как разность двух натуральных чисел. Тогда сложение определяется таким образом, чтобы быть совместимым с вычитанием:

• Пусть имеются два целых числа a − b и c − d, где a, b, c, и d — натуральные числа, тогда (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d).

Рациональные числа

Сумма рациональных чисел может быть вычислена с использованием наименьшего общего знаменателя, но концептуально простое сложение рациональных чисел включает в себя только сложение и умножение целых чисел:

• ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.$

Например, ${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}$.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями гораздо проще; в этом случае, можно просто сложить числители, оставив знаменатели без изменения: ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$, например ${\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}$.

Коммутативность и ассоциативность сложения рациональных чисел является следствием законов целочисленной арифметики. Для более строгого и общего обсуждения, см. поле дробей.

Действительные числа

Общим построением множества действительных чисел является пополнение Дедекинда множества рациональных чисел. Действительные числа определяются как Дедекиндово сечение рациональных чисел: непустое множество рациональных чисел ограниченное снизу, и не имеющее наибольшего элемента. Сумма вещественных чисел a и b определяется поэлементно:

• $a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}$.

Это определение было опубликовано, в немного изменённом виде, Рихардом Дедекиндом в 1872 году. Свойства коммутативности и ассоциативности сложения действительных чисел близки; определяя действительное число 0, как часть множества отрицательных рациональных чисел, легко представить его, как аддитивную единицу. Наверное, самой сложной частью этой конструкции, относящейся к сложению, является определение аддитивных инверсий.

К сожалению, умножение Дедекиндовых сечений — времязатратный процесс, аналогичный сложению целых чисел со знаками. Другой подход заключается в метрической комплектации действительных чисел. Действительные числа — это, по сути, предел последовательности Коши рациональных чисел, предел a_n. Сложение осуществляется почленно:

• $\lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n})$.

Это определение было впервые опубликовано Георгом Кантором в 1872 году, хотя его формализм был несколько другим. Нужно доказать, что эта операция является строго определённой, вместе с последовательностью Коши. Как только эта задача будет выполнена, все свойства сложения действительных чисел будут следовать непосредственно из свойств действительных чисел. Кроме того, другие арифметические операции, включая умножение, имеют простые, аналогичные определения.

Комплексные числа

Сложение двух комплексных чисел может быть представлено геометрически, через построение параллелограмма.

Комплексные числа складываются друг с другом путём сложения действительных и мнимых частей. Это значит, что:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.\$

Используя визуализацию комплексных чисел на комплексной плоскости, можно дать сложению комплексных чисел следующую геометрическую интерпретацию: суммой комплексных чисел A и B, представленных в виде точек на комплексной плоскости, является точка X, полученная путём построения параллелограмма, три вершины которого находятся в точках O, A и B. Или, можно сказать, что X — это такая точка, что треугольники с вершинами в точках O, A, B, и X, B, A конгруэнтны.

Обобщения

Существуют много бинарных операций, которые можно рассматривать, как обобщения операции сложения в действительных числах. Области общей алгебры занимаются такими обобщёнными операциями, и также они касаются теории множеств and теорим категорий.

Сложение в абстрактной алгебре

Векторное сложение

Основная статья: Вектор (геометрия)

В линейной алгебре, векторное пространство — это алгебраическая структура позволяющая складывать любые два вектора и масштабировать векторы. Привычное всем векторное пространство представляет из себя множество всех упорядоченных пар действительных чисел; упорядоченная пара (a,b) является вектором, исходящим из начала координат Эвклидовой плоскости в точку (a,b) на плоскости. Сумма двух векторов получается путём сложения их соответствующих координат:

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d).

Эта операция сложения является центральной в классической механике, в которой векторы рассматриваются как силы.

Сложение матриц

Основная статья: Матрица (математика)

Сложение матриц определяется для двух матриц одинакового размера. Сумма двух матриц, размерами m × n (произносится «m на n») A и B, записывается, как A + B и представляет из себя матрицу размерами m × n, полученную путём сложения соответствующих элементов:

${\begin{aligned}{\mathbf {A}}+{\mathbf {B}}&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!$

Например:

${\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}$

Сравнение по модулю

Основная статья: Сравнение по модулю

В модульной арифметике, множество чисел, сравнимых по модулю с числом 12, состоит из двенадцати элементов; оно наследует операцию сложения с целыми числами, которая является центральной в музыкальной теории множеств. Множество целых чисел по модулю 2 имеет только два элемента; это множество наследует операцию сложения, известную в Булевой алгебре как функция «сложение по модулю 2». В геометрии, сумма двух углов часто берется таким образом, чтобы их сумма была по модулю сравнима с числом 2π. Это представляет собой операцию сложения на круге, которая обращается на операции сложения на многомерном торе.

Общее сложение

Общая теория абстрактной алгебры позволяет операции «сложения» быть любой ассоциативной и коммутативной операцией. Основные алгебраические системы с такими операциями сложения включают в себя моноиды и абелевы группы.

Сложение в теории множеств и теории категорий

Обобщением сложения натуральных чисел является сложение порядковых чисел и количественных чисел в теории множеств. Они дают два разных обобщения сложения натуральных чисел в трансфините. В отличие от большинства типов операции сложения, сложение порядковых чисел не коммутативно. Сложение количественных чисел, тем не менее, является коммутативной операцией, тесно связанной с операцией дизъюктивного объединения.

В теории категорий, попарно не пересекающиеся множества рассматриваются, как частный случай операции копроизведения, и общие побочные результаты, возможно, являются самыми абстрактными из всех обобщений в операции сложения. Некоторые побочные результаты, такие как, прямая сумма и клиновая сумма, названы так, чтобы вызвать их связь с операцией сложения.

Операции, связанные со сложением

Сложение, так же как и вычитание, умножение и деление, считается одним из основных операций и используется в элементарной арифметике.

Арифметика

Вычитание можно рассматривать как вид операции сложения - это своего рода Шаблон:НП5. Вычитание само по себе является своего рода инверсией к сложению, то есть прибавление x и вычитание x являются обратными функциями.

Во множестве чисел, на котором всегда определена операция сложения, не всегда можно определить операцию вычитания; таким простым примером является множество натуральных чисел. С другой стороны, операцию вычитания можно однозначно назвать операцией сложения или операцией, обратной операции сложения или аддитивным тождеством; по этой причине, аддитивную группу может можно определить как множество, на котором определена операция вычитания.

Умножение можно считать Шаблон:НП5. Если один одно выражение x появляется в сумме n раз, то сумма является произведением n и x. Если n не является натуральным числом, произведение также имеет смысл; например, умножение на Шаблон:НП5 даёт Шаблон:НП5.

Круговая логарифмическая линейка

В действительных и комплексных числах, сложение и умножение можно заменить экспоненциальной функцией (это можно сделать и в обратную сторону):

e^{a + b} = e^a e^b.

Это тождество позволяет умножать с помощью Шаблон:НП5 логарифмов и вычислять сложение вручную; оно также позволяет умножать с использованием логарифмической линейки. Формула является хорошим приближением первого порядка в широком контексте групп Ли, где оно имеет отношение к умножению бесконечно малых групп элементов со сложением векторов в ассоциированной алгебре Ли.

У умножения есть даже больше обобщений, чем у сложения. Операции умножения всегда распределяются над сложением. Это требование закреплено в определении кольца. В некоторых случаях, таких как целые числа, дистрибутивность сложения и наличие мультипликативной идентичности достаточно, чтобы однозначно определить операцию умножения. Распределительное свойство также предоставляет информацию о сложении, расширяя произведение (1 + 1)(a + b) в обоих направлениях, поэтому можно сказать, что сложение должно быть коммутативным. По этой причине кольцо сложения коммутативно в целом.

Деление — это арифметическая операция, отдалённо связанная со сложением. Поскольку a/b = a(b⁻¹), деление является дистрибутивностью справа относительно сложения: (a + b) / c = a / c + b / c. Тем не менее, деление не является дистрибутивностью слева относительно сложения; 1/ (2 + 2) не то же самое, что 1/2 + 1/2.

Упорядочивание

Шаблон:НП5 функций x + 1 и max  (x, 1) для x = 0.001 до 1000

Операция вычисления максимального «max (a, b)» — бинарная операция, похожая на сложение. На самом деле, если два неотрицательных числа a и b — различных порядков, то их сумма примерно равна их максимуму. Это приближение является чрезвычайно полезным в приложениях математики, например, в усечении ряда Тейлора. Тем не менее, эта операция представляет собой постоянные трудности в численном анализе, так как она не является обратимой. Если b намного больше, чем a, то простой расчет (a + b) − b может накапливать неприемлимую Шаблон:НП5, возможно, даже обращение в ноль. См. также Шаблон:НП5.

Это приближение становится точным при переходе к бесконечному пределу; если из чиселa и b какое-то является кардинальные числа, то их кардинальная сумма в точности равна большему из двух. Таким образом, операция вычитания не определена для бесконечных кардиналов.

Максимизация является коммутативной и ассоциативной операцией, как и сложение. Более того, поскольку сложение сохраняет порядок действительных чисел, сложение дистрибутивно по отношению к функциям максимизации таким же образом, как и умножение по отношению к сложению:

a + max (b, c) = max (a + b, a + c).

По этим причинам в тропической геометрии меняют местами умножение со сложением и сложение с максимизацией. В этом контексте сложение называется «тропическое умножение», максимизацию называют «тропическим сложением» и тропическое «тождество сложения» - отрицательная бесконечность. Некоторые авторы предпочитают заменять сложение минимизацией; в этом случае тождество сложения является положительной бесконечностью.

Объединяя эти наблюдения вместе, заключим, что тропическое сложение приблизительно равно обычному сложению через логарифм:

log (a + b) ≈ max (log a, log b),

которое становится более точным, поскольку основание логарифма возрастает. Приближение может стать точным, если извлечь константу h, названную по аналогии постоянной Планка из квантовой механики, и, взяв Шаблон:НП5, при котором h стремится к нулю:

$\max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).$

В этом смысле, операция взятия максимума является деквантизацией сложения.

Другие способы сложения

Инкременирование, также известное как "последующая" операция — это прибавление 1 к числу.

Суммирование - это сложение сколь угодно многих чисел, обычно больше двух. Сюда же относится идея складывания отдельного числа, где одним слагаемым является само число, а вторым - Шаблон:НП5, равная нулю. Бесконечное суммирование — тонкая и точная процедура, известная как числовой ряд.

Шаблон:НП5 конечного множества эквивалентен суммированию всех элементов множества, как единиц.

Интегрирование — это своего рода «суммирование» континуума или если более точно и обще, то дифференцируемого множества. Интегрирование над множеством нулевой размерности сводится к суммированию.

Линейные комбинации совмещают умножение и суммирование; это суммы, в которых каждый член имеет множитель, обычно действительное или комплексное число. Линейные комбинации особенно полезны в случаях, где обычное сложение нарушило бы некоторое правило нормализации, как, например, смешивание стратегий в теории игр или суперпозиция состояний в квантовой механике.

Свёртка используется для добавления двух независимых случайных величин, определённых функцией распределения. Обычно в определении свертки сплетаются интегрирование, вычитание и умножение. В целом, свёртку уместно рассматривать как сложение на области определения, и наоборот, векторное сложение — это сложение на множестве значений функции.

См. также

• Соглашение Эйнштейна
• Сумма

Литература

• Акян М; Бапат Р; Гауберт С. Минус-плюс методы в теории возмущений собственных значений и обобщённой теоремы Лидски-Вишика-Люстреника (англ.) = Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem. — 2006. — arXiv:math.SP/0402090.
• Баез Д.; Долан Д. Бесконечная математика — 2001 год и далее. От конечных множеств до Фейнмановских диаграмм = Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams. — Springer Berlin Heidelberg, 2000. — С. 37, 29. — 1236 с. — ISBN 3-540-66913-2.
• Баруди А.; Тиликайнен С. Развитие арифметических понятий и навыков = The Development of Arithmetic Concepts and Skills. — Routledge, 2013. — 520 с. — ISBN 0-8058-3155-X.
• Бегл Э. Математика в начальной школе = The Mathematics of the Elementary School. — McGraw-Hill, 1975. — С. 49. — 453 с. — ISBN 0-07-004325-6.
• Бергман Г. Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям = An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. — 2-е изд. — Springer, 2015. — С. 100. — 572 с. — ISBN 0-9655211-4-1.
• Богомолни А. Что такое сложение? (англ.) = What Is Addition?.
• Бунт, Лукас Н. Х.; Джонс, Филлип С.; Бедиент, Джек Д. Исторические корни элементарной математики = The Historical roots of Elementary Mathematics. — Prentice-Hall, 2012. — 336 с. — ISBN 0-13-389015-5.
• Буррил К. Основы действительных чисел = Foundations of Real Numbers. — McGraw-Hill, 1967. — С. 138, 140. — 163 с.
• Бэкман С. Изучение математики в начальной школе в целых числах (англ.) = The twenty-third ICMI study: primary mathematics study on whole numbers : журнал. — International Journal of STEM Education, 2014.
• Вивер Д. Сложение и вычитание: когнитивная точка зрения. Интерпретации числа операций и символических представлений сложения и вычитания = Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. — Taylor & Francis, 2012. — С. 8. — ISBN 0-89859-171-6.
• Вильямс М. История вычислительной техники = A History of Computing Technology. — Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-389917-9.
• Винн К. Развитие математических навыков = The Development of Mathematical Skills. — Taylor & Francis, 1998. — С. 5, 15, 17, 19. — 338 с. — ISBN 0-86377-816-X.
• Виро О.; Касакуберта К.; Роза М. Миро-Ройг; Вердера Д.; Себастиа Хамбо-Дескампс. Европейский конгресс математики: Барселона, Июль 10–14, 2000, Volume I = European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. — Birkhäuser, 2012. — Т. 1. — С. 2, 4. — 582 с. — ISBN 3-7643-6417-3.
• Виро О.; Касакуберта К.; Роза М. Миро-Ройг; Вердера Д.; Себастиа Хамбо-Дескампс. Европейский конгресс математики: Барселона, Июль 10–14, 2000, Volume I = European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. — Birkhäuser, 2012. — Т. 1. — С. 2, 4. — 582 с. — ISBN 3-7643-6417-3.
• Генри Валери Д. Элементарная математика для учителей = First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard. — Heinemann, 2008.
• Девид М. Девисон; Ландау С.; МакКрекен Л.; Томпсон Л. Математика: Исследования и приложения = Mathematics: Explorations & Applications. — Prentice Hall. — ISBN 0-13-435817-1.
• Департамент армии США. Принципы и Применения Математики для Межприборных соединений = Principles and Applications of Mathematics for Communications-electronics. — Headquarters, Department of the Army, 1992. — С. раздел 5.1. — 268 с.
• Джексон А. Аналоговые вычисления = Analog Computation. — McGraw-Hill, 1960.
• Джон А. Ван де Валле. Математика в начальной и средней школе: развивающее обучение = Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. — 5-е изд. — Pearson Education, 2015. — 576 с. — ISBN 0-205-38689-X.
• Джон М. Введение в языки и теорию вычислений = Introduction to Languages and the Theory of Computation. — 3. — McGraw-Hill, 2011. — С. 49. — 436 с. — ISBN 0-07-232200-4.
• Джонсон П. От палок и камней: личные приключения в математике = From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. — Science Research Associates, 1975. — С. 120. — 552 с. — ISBN 0-574-19115-1.
• Дунхам В. Математическая Вселенная = The Mathematical Universe. — Wiley & Sons, 1994. — 314 с. — ISBN 0-471-53656-3.
• Каплан Р. Что такое ничего: Естественная историю нуля = The Nothing That Is: A Natural History of Zero. — Oxford University Press, 1999. — 240 с. — ISBN 0-19-512842-7.
• Карпентер Т.; Феннема Е.; Megan Loef Franke; Леви Л.; Импсон С. Детская игровая математика = Children's Mathematics: Cognitively Guided Instruction. — Heinemann, 2014. — 218 с. — ISBN 0325052875.
• Карпински Л. История арифметики = The history of arithmetic. — Russell & Russell, 1925. — С. 56-57, 102-103, 150-153. — 200 с.
• Килпатрик Д. Сложение: помощь детям в изучении математики = Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. — National Academy Press, 2001. — С. 73. — 454 с. — ISBN 0-309-06995-5.
• Ли Ж. Введение в гладкие многообразия = Introduction to Smooth Manifolds. — Springer, 2013. — С. 526. — 631 с. — ISBN 0-387-95448-1.
• Ли Ж. Введение в гладкие многообразия = Introduction to Smooth Manifolds. — Springer, 2013. — С. 526. — 631 с. — ISBN 0-387-95448-1.
• Ли Я.; Лаппан Г. Математический курс обучения в школьном образовании = Mathematics Curriculum in School Education. — Springer, 2013. — 663 с. — ISBN 9400775601.
• Литвонов Л. Г. Иденпотентная математика и интервальный анализ = Idempotent mathematics and interval analysis. — American Mathematical Soc, 2005. — С. глава 3. — 370 с. — ISBN 0821835386.
• Лодей Джин-Лоис. Аритметр (англ.) = Arithmetree // Journal of Algebra : журнал. — 2002. — 22 декабрь (№ 258). — doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0. — arXiv:math/0112034.
• Мазур Д. Поучительные символы: Краткая История Математических Обозначений и их Скрытых Сил = Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton University Press, 2014. — С. 161. — 321 с. — ISBN 1400850118.
• Майкл Рой Вильямс. История вычислительной техники = A History of Computing Technology. — 2. — IEEE Computer Society Press, 1997. — 426 с. — ISBN 0-13-389917-9.
• Маргун Д. История устройства вычислительных машин = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. — Hermann, 1994. — 206 с. — ISBN 978-2-7056-6166-3.
• Михалкин Г. Тропическая геометрия и ее приложения = Tropical Geometry and its Applications. — 2-е изд. — Мадрин, Испания: Springer Science & Business Media, 2009. — С. 827–852. — 104 с. — ISBN 978-3-03719-022-7.
• Мосли Ф. Использование цифровых линий с 5-8 летними детьми = Using Number Lines with 5-8 Year Olds. — Nelson Thornes, 2001. — 8 с. — ISBN 1874099952.
• Михалкин Г. Труды международного конгресса математиков (англ.) = Proceedings of the International Congress of Mathematicians : сборник. — Мадрид, Испания: Zürich, 2006. — 22-30 Август. — С. 827-852. — ISBN 978-3-03719-022-7.
• Порядок выполнения операций (англ.) = Order of Operations Lessons // Algebrahelp : журнал. — 2012.
• Рандерсон Д. У слонов достаточно ума, чтобы рисовать фигуры (англ.) = Elephants have a head for figures : журнал. — Theguardian, 2008. — 21 Август.
• Рене Т. Расчётная механика. Что я знаю? = Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367. — Presses universitaires de France, 1963. — С. 20-28.
• Рудин В. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3. — McGraw-Hill, 1976. — С. 178. — 342 с. — ISBN 0-07-054235-X.
• Смит К. Природа современной математики = The Nature of Modern Mathematics. — 3-е изд. — Brooks/Cole Pub. Co., 1980. — 620 с. — ISBN 0-8185-0352-1.
• Смит Ф. Стеклянная стена: почему математика может показаться трудной = The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult. — Teachers College Press, 2002. — 163 с. — ISBN 0-8077-4242-2.
• Спаркс Ф.; Спаркс Ч. Исследование основной математики = A Survey of Basic Mathematics. — 4. — McGraw-Hill, 1979. — 543 с. — ISBN 0-07-059902-5.
• Стевард Д. Исчисление: раннее трансцендирование = Calculus: Early Transcendentals. — 4. — Brooks/Cole, 2010. — С. 8. — 1344 с. — ISBN 0-534-36298-2.
• Труитт Т.; Роджерс А. Основы аналоговых компьютеров = Basics of Analog Computers. — John F. Rider.
• Ферриус Д. Лабиринты мысли: История теории множеств и ее роль в современной математике = Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — Birkhäuser, 2013. — С. 128, 135, 223. — 440 с. — ISBN 0-8176-5749-5.
• Фиерро Р. Математика для учителей начальной школы = Mathematics for Elementary School Teachers. — Cengage Learning, 2012. — 976 с. — ISBN 0538493631.
• Флинн М.; Оверман, С. Передовые компьютерные арифметические конструкции = Advanced Computer Arithmetic Design. — Wiley, 2001. — 325 с. — ISBN 0-471-41209-0.
• Фоснот К.; Долк М. Молодые математики за работой: Конструирование чувства числа, сложения и вычитания = Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. — Heinemann, 2001. — 193 с. — ISBN 0-325-00353-X.
• Хемпел П. Философия Карла Г. Хемптела: исследования в области науки, объяснения и рациональность. = The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality. — Oxford University Press, 2000. — 464 с. — ISBN 0195343875.
• Хоровиц П. Искусство схемотехники = The Art of Electronics. — 2. — Бином, 2009. — 704 с. — ISBN 0-521-37095-7.
• Шварцман С. Математические слова: Краткий Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — MAA, 1994. — 261 с. — ISBN 0-88385-511-9.
• Шмидт В.; Хоуанг Р.; и Коган Л. Последовательность обучения (англ.) = A coherent curriculum : журнал. — American educator, 2002.
• Эндертон Х. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — С. 79, 92, 114, 117, 138, 164. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.