Треугольник Серпинского: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м откат правок 95.56.27.240 (обс.) к версии H hardrade Метка: откат |
Исправлена неточность. |
||
Строка 14: | Строка 14: | ||
:1. Задаются координаты [[аттрактор]]ов — вершин исходного треугольника <math>T_0</math>. |
:1. Задаются координаты [[аттрактор]]ов — вершин исходного треугольника <math>T_0</math>. |
||
:2. [[Вероятностное пространство]] <math>(0; 1)</math> разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору. |
:2. [[Вероятностное пространство]] <math>(0; 1)</math> разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору. |
||
:3. Задаётся некоторая начальная точка <math>P_0</math> |
:3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка <math>P_0</math>. |
||
:4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского. |
:4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского. |
||
::1. Генерируется случайное число <math>n \in (0; 1)</math>. |
::1. Генерируется случайное число <math>n \in (0; 1)</math>. |
Версия от 07:24, 12 марта 2020
Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского.
Построение
Итеративный метод
Середины сторон равностороннего треугольника соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность , пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.
Метод хаоса
- 1. Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника .
- 2. Вероятностное пространство разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
- 3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка .
- 4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.
- 1. Генерируется случайное число .
- 2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
- 3. Строится точка с новыми координатами: , где:
- — координаты предыдущей точки ; — координаты активной точки-аттрактора.
- 5. Возврат к началу цикла.
Свойства
- Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
- Треугольник Серпинского замкнут.
- Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
- Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
- Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность . В частности,
- треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.
Интересные факты
- Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
- Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии[1].
-
Построение итеративным методом
-
Построение методом хаоса
-
Иллюстрация свойства самоподобия (рекурсии)
Примечания
Ссылки
- Медиафайлы по теме Треугольник Серпинского на Викискладе
- Weisstein, Eric W. Sierpiński Sieve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.