Эвольвента

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Инволюта»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Две параллельные эвольвенты окружности — боковые части профиля в зубчатом колесе с эвольвентным зацеплением
Анимация построения эвольвенты окружности — эвольвента как разматывающаяся нить

Эвольве́нта (от лат. evolvens, родительный падеж evolventis «разворачивающий»[1][2]), или инволю́та[3], или развёртка[2], плоской кривой  — это плоская кривая , по отношению к которой является эволютой[1][4][2].

То есть эвольвента — кривая, нормаль в каждой точке которой есть касательная к исходной кривой, иными словами, эвольвента — ортогональная траектория касательных к исходной кривой[2].

Эвольвента плоской кривой также может быть определена следующим образом:

  • эвольвента — траектория конца натянутой нити, которая либо наматывается на исходную кривую, либо разматывается с неё (этим объясняется другое название эвольвенты «развёртка»)[2].

Последнее определение эвольвенты проясняет следующие свойства эвольвенты[2]:

  • касательная в произвольной точке исходной кривой есть нормаль в соответствующей точке эвольвенты;
  • всякая ортогональная траектория касательных к исходной кривой есть эвольвента;
  • разность радиусов кривизны в двух точках эвольвенты равна длине дуги между соответствующими точками исходной кривой.

У каждой кривой бесконечно много эвольвент[2], которые параллельны друг другу[3].

Уравнения эвольвенты

[править | править код]

Если линия задана уравнением (где  — натуральный параметр), то уравнение её эвольвенты имеет вид

,

где  — произвольный параметр[1][4].

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

Примеры эвольвенты

[править | править код]

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её параметрические уравнения имеют следующий вид:

на комплексной плоскости уравнения упрощаются[5]:

где  — угол, a  — радиус

Эвольвента цепной линии

Применения

[править | править код]

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]