Верзьера Аньези

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Верзьера Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек , для которых выполняется соотношение , где  — диаметр окружности,  — полухорда этой окружности, перпендикулярная . Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

История[править | править вики-текст]

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди[en], независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус.[1]

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзьерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch)[2]. Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi.

Уравнения[править | править вики-текст]

,

  • Параметрическое уравнение:
, где  — угол между и

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Верзьера — кривая третьего порядка.
  • Диаметр единственная ось симметрии кривой.
  • Кривая имеет один максимум — и две точки перегиба —
  • В окрестности вершины верзьера приближается к окружности диаметра . В точке происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке : .
  • Площадь под графиком . Она вычисляется интегрированием уравнения по всему .
  • Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси ) .

Построение[править | править вики-текст]

Построение верзьеры

Строится окружность диаметра и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Интересные факты[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ:Астрель, 2006.

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. C. Truesdell. Correction and Additions for 'Maria Gaetana Agnesi // Archive for History of Exact Science. — 1991. — Vol. 43. — P. 385-386. — DOI:10.1007/BF00374764.
  2. Pietro Fanfani. Vocabolario dell' uso toscano, p. 334
  3. Локон красавицы и арбалет великана: тренажер «Нитка» — прошлое и будущее