История математических обозначений

Математические обозначения — символы, используемые для компактной записи математических уравнений и формул. Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского), математический язык использует множество специальных символов, изобретённых за последние несколько столетий.

Роль символических обозначений в математике

Преимуществами символических обозначений являются компактность, однозначность толкования, лёгкость преобразований. Лейбниц в письме Чирнгаузу (1678) писал:

Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это достигается в наибольшей мере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отображают глубочайшую природу вещи; при этом удивительным образом сокращается работа мышления.

Древние числовые системы и зарождение математической символики

В любой цивилизации древнейшим из математических обозначений является нумерация (запись чисел). По способу образования чисел из базовых знаков (цифр) древние системы нумерации делятся на три типа

• Аддитивная (пример: римское число XXX = 30).
• Субтрактивная (римское число IX).
• Мультипликативная (например, китайская система записи чисел, см. ниже).

Позднее появилась Позиционная система счисления, в которой числовое значение цифры зависит не только от самой цифры, но и от её позиции в записи числа. Знаки операций, отношения и другие символические обозначения также появились позже, первоначально алгоритмы и формулы излагались словесно.

Древний Египет

См. также: Математика в Древнем Египте

Иероглифическая запись числа 35736

Древнеегипетская нумерация поначалу была аналогична более поздней римской: в ней были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, но младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал современному. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для каждой цифры от 1 до 9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.

Иероглифы для изображения чисел

1	10	100	1000	10,000	100,000	1,000,000

Особые значки обозначали дроби вида $~{\frac {1}{n}}$, а также практически важную дробь ${\frac {2}{3}}$. Общего понятия дроби ${\frac {m}{n}}$ у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

Примеры изображения часто встречающихся дробей

$1/2$	$1/3$	$2/3$	$1/4$	$1/5$

Пример записи дробей из Папируса Ринда

5 + 1⁄2 + 1⁄7 + 1⁄14 (значение: 5 5⁄7)

Для обозначения операций сложения и вычитания, использовался один из иероглифов:

или

Если направление «ног» у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание» Для умножения и деления специальных обозначений не было.

Вавилон

См. также: Вавилонская математика

Вавилонская табличка (около 1800–1600 г. до н. э.) с вычислением ${\sqrt {2}}\approx 1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}$
= 1.41421296…

Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр клинописью была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.

При описании алгоритмов решения уравнений значки для неизвестных были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись как краткие обозначения неизвестных в современной алгебре.

Китай

См. также: Математика в древнем Китае

Китайские цифры обозначались специальными иероглифами, которые появились во II тысячелетии до н. э., начертание их окончательно установилось к III в. до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, запись числа 1946, используя вместо иероглифов римские цифры, можно условно представить как 1М9С4Х6. Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске суаньпань, где запись чисел была иной — позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э. Для умножения и деления на счётной доске были разработаны эффективные алгоритмы, описанные в руководствах словесно.

В III веке н. э. под влиянием традиционной в Китае десятичной системы мер появляются и десятичные дроби. В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную.

Древняя Греция

См. также: Математика в Древней Греции

Греческая нумерация, как египетская и римская, была аддитивной, то есть числовые значения символов складывались. Первый её вариант (аттическая, или геродианова) содержали буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Особый дырявый камешек обозначал нуль. Позднее (начиная с V века до н. э.) вместо аттической нумерации была принята алфавитная — первые 9 букв греческого алфавита обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки, остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10000. Древнегреческие учёные первыми стали записывать дроби вертикально — правда, числитель у них стоял не выше, а ниже знаменателя, а черты дроби не было.

Алгебраической символики у греков сначала не было. Единственным исключением можно считать краткие обозначения буквами геометрических точек, а также отрезков прямых или дуг окружности по их конечным точкам.

Лист из «Арифметики» Диофанта (копия XIV века). В верхней строке записано уравнение: $x^{3}\cdot 8-x^{2}\cdot 16=x^{3}$.

Вершиной античной алгебры стали труды Диофанта Александрийского (III век н. э.). Намного обогнав своё время, он ввёл буквенную символику — пока только для неизвестной величины, которую он обозначает буквой $\zeta$ (дзета). Диофант использовал особые символы также для степеней неизвестной, вплоть до шестой, и их обратных величин. Специальный символ (перевёрнутая буква $\psi$) означал вычитание следующего за ним числа. Буква $\iota$ (иота, от греч. ἴσος, равный) играла роль знака равенства. Все эти нововведения позволили в общем виде записать, например, правила умножения степеней (в том числе отрицательных), правило знаков при умножении на отрицательное число, способы решения неопределённых уравнений в целых числах.

Индия

См. также: История математики в Индии

Уже в древнеиндийских текстах на санскрите были предусмотрены средства для именования чисел в десятичной системе счисления, вплоть до $10^{53}$.

Индийская нумерация вошла в историю по двум причинам. Около VI века до н. э. в Индии появились отдельные знаки для цифр от 1 до 9, ставшие прообразом современных европейских цифр; автор их неизвестен, но первые три обозначения совпадают с китайскими. Примерно в 500 году н. э. индийские учёные изобрели десятичную позиционную систему записи чисел. В новой системе выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами или с шестидесятеричными числами. Для целей новой системы потребовалось введение нового числа — нуля. Учёные расходятся во мнениях, откуда в Индию пришла эта идея — от греков, из Китая или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно.

Индийские математики продолжили усилия Диофанта по развитию математической символики, хотя пошла по собственному пути. Сократив соответствующие санскритские термины до одного слога, они использовали их как символы неизвестных, их степеней и свободных членов уравнений. Например, умножение обозначалось знаком гу (от слова гунита, умноженный). Вычитание указывалось точкой над вычитаемым или символом «плюс» правее его. Если неизвестных было несколько, им для определённости присваивали условные цвета. Квадратный корень обозначался слогом «му», сокращением от мула (корень). Для именования степеней использовались сокращения терминов «варга» (квадрат) и «гхава» (куб):

Степень	$x^{2}$	$x^{3}$	$x^{4}$	$x^{5}$	$x^{6}$	$x^{7}$	$x^{8}$	$x^{9}$
Название	ва	гха	ва ва	ва гха гхата	ва гха	ва ва гха гхата	ва ва ва	гха гха

Запись дробей, в отличие от греков, оформлялась по современным правилам: числитель над знаменателем, хотя целую часть смешанной дроби было принято записывать не левее, а над числителем. Сложение и умножение дробей обозначались одинаково — обе дроби просто записывались рядом; тип операции приходилось распознавать из текстовых пояснений. Знака равенства не было, правую часть уравнения записывали под левой, подравнивая одночлены по одинаковым степеням неизвестной.

О системах нумерации других народов см. также:

• Арабские цифры
• Армянская система счисления
• Еврейские цифры
• Кипу
• Римские цифры
• Цифры майя
• Японские числительные

Историческое развитие символики

Средневековье

Математики арабских стран в период примерно с VII по XIII век внесли свой вклад в развитие античных и индийских знаний. В числе прочего они переняли индийскую десятичную позиционную нумерацию и освоили (видимо, независимо от китайцев) десятичные дроби. Первым правила работы с десятичными дробями описал в X веке Ал-Уклидиси, целая часть дроби у него отделялась от дробной апострофом. Подробное описание десятичной арифметики опубликовал аль-Каши в XV веке, но и тогда широкого распространения в исламском мире десятичные дроби не получили. Для отделения дробной части числа аль-Каши использовал вертикальную черту или чернила другого цвета. Хотя термин «алгебра» имеет арабское происхождение, символическая алгебра в исламских странах отсутствовала, все формулы излагались словесно; исключением стали труды испано-мавританского математика ал-Каласади (1486) и его учеников. Ал-Каласади придумал знаки для неизвестного, его квадрата, квадратного корня и знака равенства, однако распространения они не получили.

Башенные часы с кириллическими числами в Суздале

Кириллическая система счисления («славянская нумерация») в России появилась вместе с кириллицей (IX век) и переняла греческий обычай обозначать цифры с помощью помеченных специальным значком букв. Использовались буквы, аналогичные греческим, а специфически-славянские (Б, Ж, Ш и др.) числовых значений не получили. Исключение было сделано для букв Ч и Ц, перенявших числовые значения архаичных греческих букв «коппа» и «сампи». Числа записывались, как в римско-греческой системе, аддитивно, например, МГ обозначало 40+3. Для больших чисел (начиная с 1000) использовались особые пометки. Славянская нумерация использовалась в России до XVIII века, после чего всюду, за исключением церковной литературы, была заменена на современную.

Начиная с XII века, античные и арабские труды стали проникать в Европу и переводиться на латинский. Одновременно, особенно в торговой среде, быстро распространяются индийские цифры и правила действий с ними. В первых сочинениях европейских математиков все формулы по-прежнему излагаются словесно. Первый (не слишком удобный) набросок алгебраической символики дал Лука Пачоли, крупнейший алгебраист XV века. Он ввёл в общее употребление обозначения ${\tilde {p}}$ для операции сложения и ${\tilde {m}}$ для вычитания (от итал. piu, meno), вполне аналогичные позднейшим плюсу и минусу. Для квадратного корня Пачоли использовал предложенные ещё Фибоначчи стилизованные буквы $R_{x}$, от слова Radix, корень, с пометкой для корней степени выше второй. Пример записи Пачоли:

$R_{x}.6.{\tilde {m}}.R_{x}.2.$     современная запись: ${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}.$

Пачоли предложил краткие слоговые обозначения для неизвестной и её степеней, напоминающие индийскую систему, но в 1484 году Николя Шюке опубликовал более удобный проект; например, современный одночлен $12x^{3}$ Шюке записывал просто как $12^{3}.$ Среди других перспективных идей Шюке — использование минуса ${\tilde {m}}$ в качестве признака отрицательных чисел и подчёркивание сложных выражений вместо скобок.

Ещё один важный шаг сделала немецкая алгебраическая школа XV века, называвшая себя коссистами (Пачоли называл неизвестную величину cosa, вещь). В учебнике арифметики Иоганна Видмана (1489) символы сложения и вычитания Пачоли были заменены современными плюсом и минусом. Степени неизвестного коссисты обозначали комбинацией готических букв, эти «коссические знаки» получили некоторое распространение (их влияние заметно даже в «Арифметике» Магницкого, 1703).

XVI век. Симон Стевин и Франсуа Виет

Страница из «Десятой» Стевина; цифры в кружках — номера разрядов десятичных дробей: нулевой обозначает целую часть, первый — десятые, второй — сотые, и т.д.

Спустя столетие после аль-Каши (1585) вышла книга Симона Стевина «Десятая», с которой начинается повсеместное применение десятичных дробей в Европе. Стевин для наглядности указывал над десятичными разрядами их номера в кружках (см. рисунок). Этими же средствами он записывал алгебраические выражения; цифра в кружке обозначал номер переменной, перед ней, если надо, указывалась степень этой переменной: sec (квадрат) или ter (куб). В качестве знаков умножения и деления Стевин использовал буквы M и D соответственно. Стевин также свободно использовал дробные показатели степени, также заключаемые им в кружки.

Из других устоявшихся обозначений, появившихся в XVI веке, можно назвать знак равенства (1557) и десятичную запятую (Джованни Маджини, 1592). Немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, заменил обозначение Пачоли для квадратного корня на современный знак радикала (1525).

Франсуа Виет

В конце XVI века были опубликованы труды французского математика Франсуа Виета, произведшие революцию в алгебре. Виет поставил целью разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая дала бы возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью. В своих исследованиях Виет сразу решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. Он обозначал буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет использовал для этого (как в геометрии) только заглавные буквы — гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.

Из знаков операций Виет использовал три: плюс, минус и черту дроби для деления; умножение обозначалось латинским предлогом in. Вместо скобок он, следуя Шюке, надчёркивал сверху выделяемое выражение (в нескольких случаях Виет использовал фигурные скобки). Показатели степени у Виета ещё записываются словесно. Например, в трактате «Об анализе и совершенствовании уравнений» записано уравнение:

$A\ cubus+B\ plano\ 3\ in\ A\ aequari\ Z\ solido\ 2$

В современной записи: $x^{3}+3bx=2z^{3}$

Новая система, несмотря на её громоздкость и ограниченность, позволяла достаточно просто и ясно описать общие законы арифметики и расчётные алгоритмы, с её помощью Виет совершил немало первоклассных математических открытий. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию.

XVII век

Алгебраическая символика

В XVII веке продолжателем дела создания символической алгебры после Виета стал английский математик Томас Хэрриот, его главный труд был издан посмертно в 1631 году. Хэрриот упростил символику Виета и сократил запись формул — вместо заглавных букв он использовал строчные, поддержал знак равенства, степени заменял умножением: $aaa$ вместо $a^{3}$. Большим достижением стало введение Хэрриотом современных знаков сравнения $<\ \ >$ (раньше писали словами: больше, меньше). Вариант символов нестрогого сравнения $\leqslant \ \ \geqslant$ предложил Валлис в 1670 году.

Свои усовершенствования ввели Альбер Жирар (1626) и Уильям Отред (1631). У Жирара появились круглые скобки и знак плюс-минус. Квадратный корень к этому времени уже имел очертания, похожие на современные; Жирар предложил записывать показатель кубического и других корней высоких степеней над знаком радикала, и эта конструкция осталась в математике.

Заслугой Отреда является введение следующих символов:

• Знак умножения — косой крестик: $\times$. Лейбниц в качестве альтернативы предложил точку.
• Знак деления — косая черта: $/$.
• Символ параллельности: $\|$.

Рене Декарт

Практически современный вид алгебраический язык получил в середине XVII века у Декарта. Он предложил использовать для известных параметров начальные буквы алфавита: $a,b,c\dots ,$ а для неизвестных — последние буквы: $x,y,z\dots .$ Декарт сформировал современную запись степеней: $x^{3},$ с показателем степени правее и выше переменной. Ближе к концу века Ньютон распространил эту запись на дробные и отрицательные показатели. Ньютону принадлежит также идея использования подстрочных индексов для именования отдельных объектов из оговоренного множества: $~x_{1},x_{2}\dots$

Cимволика математического анализа

Начало статьи Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных» (1684), здесь Лейбниц впервые употребил символ дифференциала

Когда в конце XVII века Ньютон и Лейбниц создали обширный новый раздел математики — математический анализ, — встал вопрос о разработке для него удобной системы обозначений. Ньютон этим почти не занимался, и из предложенных им обозначений в науке осталась только манера обозначать производную по времени точкой, расположенной над символом функции, например: $~{\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$ Это обозначение неудобно для производных высших порядков (более второго). Ньютон также способствовал закреплению в науке символов бесконечно малых («O» большое и «o» малое), которые ранее предложил шотландский математик Джеймс Грегори.

Ньютон не предложил символа для интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией или символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её.

Лейбниц отнёсся к делу разработки обозначений более внимательно, он тщательно продумал термины и обозначения, свёл их в систему и активно популяризировал. Он является автором обозначений дифференциала, производной (в том числе высших порядков) и интеграла. Почти все его нововведения в этой области укоренились в науке, потому что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, наглядно отражала оперативные особенности методов анализа.

XVIII век

Леонард Эйлер

Леонард Эйлер, лидер математиков XVIII века, внёс значительный вклад в систему обозначений. Эйлер дал имена трём фундаментальным числовым объектам — e для «числа Эйлера», $\pi$ для отношения длины окружности к её диаметру и i для мнимой единицы. У него появились также символ двойного интеграла по произвольной плоской области (1769), знак суммы ${\boldsymbol {\Sigma }}$ (1755), знак $\neq$ («не равно»).

Симон Люилье в 1787 году предложил один из важнейших символов анализа — обозначение предела, «шлифовка» которого разными математиками продолжалась до конца века.

XIX век

Гаусс добавил в систему обозначений символ функции «целая часть»: $[x]$, знак произведения: ${\boldsymbol {\Pi }}$ (1812) и символику сравнений по модулю. У Вейерштрасса в 1841 году появился символ абсолютной величины. Из других новых символов можно указать знаки «приблизительно равно» (З. Гюнтер, 1882) и «тождественно равно» ($\equiv$, Бернхард Риман, 1857), отдельный закруглённый символ для частной производной, современное оформление для границ определённого интеграла (Фурье, 1816). . Создание и начало широкого применения векторного исчисление и векторного анализа вызвали появление символики для обозначения векторов и операций с ними.

XX век

В XX веке были стандартизованы обозначения для интервала вещественных чисел: $(a,b)\ [a,b].$.

Двум новым разделам математики, возникшим в XX веке — математической логике и теории множеств — понадобился обширный комплект новых символов для логических и теоретико-множественных операций. Математики предложили более десятка таких систем обозначений, из которых время отобрало наиболее простые варианты.

История отдельных символов

Алгебра

Объекты

От индийских значков, показанных в нижней строке (начертание I века н. э.), произошли современные цифры

$0123456789$

Для обозначения цифр в странах с иероглифической письменностью (Древний Египет, Китай) использовались особые иероглифы, а в странах с фонетическим алфавитом для этого вначале обычно использовались буквы, часто со специальной пометкой. Построенные таким образом римские цифры иногда используются до сих пор. В Индии с VI века до н. э. были введены особые знаки для каждой цифры от 1 до 9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами.

В связи с изобретением десятичной позиционной системы записи чисел (около 500 года н. э.), понадобился новый значок для нуля. Первый код нуля в Индии обнаружен в записи от 876 года, он имеет вид привычного нам кружочка.

Учёные и любители предлагали десятки объяснений, почему цифры приняли именно такую форму; одна из таких гипотез известна в изложении А. С. Пушкина. Ф. Кэджори в результате анализа этих объяснений приходит к выводу, что все они представляют собой псевдонаучные фантазии.

$\ {\frac {7}{12}}$

«Двухэтажная» запись обыкновенной дроби использовалась ещё древнегреческими математиками, хотя знаменатель они записывали над числителем, а черты дроби не было. Индийские математики переместили числитель наверх; через арабов этот формат переняли в Европе. Дробную черту впервые в Европе ввёл Леонардо Пизанский (1202), но в обиход она вошла только при поддержке Иоганна Видмана (1489).

$3{,}62$

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). Персидский математик Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше. В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе. Первые десятичные дроби в Европе описал Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

Десятичная запятая, отделяющая дробную часть числа от целой, введена итальянским астрономом Дж. А. Маджини (1592) и Непером (1617). Ранее вместо запятой ставили иные символы — Виет использовал вертикальную черту: 3|62 или записывал дробную часть более мелкими цифрами; другим вариантом был нуль в скобках: 3 (0) 62. Некоторые авторы, следуя ал-Каши, употребляли чернила разного цвета. В Англии вместо запятой предпочли использовать предложенную Клавиусом в 1593 году точку, которую ставили посередине строки; эту традицию переняли в США, однако сдвинули точку вниз, чтобы не путать её со знаком умножения.

$706.510.941{,}252$

Группировка цифр длинных чисел удобна для их быстрой оценки и сравнения. Рекомендацию на этот счёт сделал уже Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в первом издании своей «Книги абака» (1202); он советовал помечать сотни, сотни тысяч и т. д. штрихом сверху, и одновременно помечать тысячи, миллионы и т. д. штрихом снизу. Во втором издании «Книги абака» (1228) Фибоначчи дал другую рекомендацию: помечать тройки цифр скобкой сверху, например: $~{\widehat {678}}\ {\widehat {935}}\ {\widehat {784}}\ {\widehat {105}}\ 296.$

В XIII веке Сакробоско предложил отделять тысячи точками. Лука Пачоли и часть немецких математиков вместо разделительных точек использовали подстрочные, причём число точек соответствовало номеру группы цифр, а Отред употреблял вертикальные чёрточки. В конце концов в большинстве стран победила простая схема Сакробоско, только в Великобритании и США, где точка является десятичным разделителем, она заменена на запятую.. В печатных изданиях, по рекомендациям Международного бюро мер и весов и ISO, преобладает нейтральный вариант, восходящий к Пачоли, в котором тройки цифр разделяются неразрывными пробелами: 678 935 784 105 296.

$x,\ y,\ z$
$a,\ b,\ c$

Особые значки (только для неизвестных величин) использовали ещё вавилонские математики, а среди античных греков — Диофант. Виет первым предложил записывать законы и формулы арифметики в общем, символическом виде, заменяя конкретные числа (не только неизвестные, но и разного рода коэффициенты) буквами (1591 год). Виет обозначал неизвестные величины заглавными буквами гласных (A, E, I, O, U, Y), а известные — заглавными согласными.

Другие математики предлагали использовать в тех же целях различие заглавных и строчных букв. Декарт в 1637 году предложил более удобную систему: для неизвестных величин используются последние буквы алфавита (x, y, z), а для известных — первые (a, b, c…), причём не заглавные, а строчные. Ту же тройку $x,y,z$ Декарт использовал в качестве символов координат при построении графиков; сам Декарт, впрочем, ограничился плоскими кривыми, активное использование пространственных координат начал Клеро. Это соглашение укоренилось в науке.

${\boldsymbol {i}}$

Букву i как код мнимой единицы: $i={\sqrt {-1}}$ предложил Эйлер (1777), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius (мнимый).

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\ {\begin{Vmatrix}a&b\\c&d\end{Vmatrix}}$

Окаймление матриц двумя вертикальными чёрточками ввёл Кэли около 1843 года; сейчас вместо них часто используются круглые или квадратные скобки. Круглые скобки первым, вероятно, употребил английский математик Каллис (Cuthbert Edmund Cullis) в 1913 году.

Операции

Первое печатное появление знаков «плюс» и «минус». Страница из книги Иоганна Видмана (1489)

${\boldsymbol {+\;-}}$

Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Иоганна Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus), сверху эти буквы часто помечались тильдой. У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки купли и продажи. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.

${\boldsymbol {\times \;\cdot }}$

Знак умножения ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. До него использовали чаще всего букву M, хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника $\Box$ (Эригон, 1634), звёздочка (Иоганн Ран, 1659). Позднее Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560—1621). Многие математики, начиная с Диофанта, вместо знака умножения просто записывали операнды подряд: $ab=a\times b;$ особенно удобной эта компактная запись оказалась для преобразования буквенных выражений.

${\boldsymbol {/\;:\;\div }}$

Знаки деления. Отред предпочитал косую черту. Двоеточием деление стал обозначать Лейбниц. До них часто использовали также букву D. Начиная с Фибоначчи, используется также горизонтальная черта дроби, употреблявшаяся ещё у Герона, Диофанта и в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложил Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла) в 1659 году. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (англ. National Committee on Mathematical Requirements) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной.

$([\{\}])$

Круглые скобки появились у Тартальи (1556) (для подкоренного выражения) и позднее у Жирара. Бомбелли использовал в качестве начальной скобки уголок в виде буквы L, а в качестве конечной — его же, повёрнутого на $180^{\circ }$ (1550); такая запись стала прародителем квадратных скобок. Фигурные скобки предложил Виет (1593). Однако большинство математиков тогда предпочитали вместо скобок надчёркивать выделяемое выражение. В общее употребление скобки ввели Лейбниц и Эйлер.

${\boldsymbol {\pm }}$

Знак плюс-минус появился у Жирара (1626) и Отреда. Жирар сформировал этот символ следующим образом: знак плюс, под ним слово «или» (фр. ou), а ещё ниже — минус: ${\boldsymbol {{\underset {-}{\overset {+}{\operatorname {\scriptscriptstyle ou} }}}\ \ }}.$

${\boldsymbol {a^{n}}}\ {\boldsymbol {a^{x}}}$

Возведение в степень. В VII веке н. э. индийский математик Брахмагупта обозначал возведение в квадрат знаком व (от санскр. वर्ग — квадратное число). В Европе сначала степень записывали как произведение — например, $x^{4}$ изображалось как $xxxx.$ Первые попытки сокращённой записи осуществили в XVII веке Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали $x^{4}$ в виде $x4$ и $x^{IV}$ соответственно.

Современная запись показателя степени введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Ньютон (1676) распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Шюке, Стевина, Валлиса и Жирара. Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679).

Символика Кардано

${\boldsymbol {\sqrt {x}}}$

Средневековые математики (например, Пачоли и Кардано) обозначали квадратный корень символом $R$ или стилизованной комбинацией $R_{x}$ (от лат. Radix, корень). На рисунке справа показано, как Кардано (1585 год) записал равенство:

$(5+{\sqrt {-15}})(5-{\sqrt {-15}})=25-(-15)=40$

Современное обозначение знака корня впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix. Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

${\boldsymbol {\sqrt[{3}]{x}}}$

Кубический корень в XVI веке обозначался следующим образом: R_x.u.cu (от лат. Radix universalis cubica). Привычное нам обозначение корня произвольной степени начал использовать Альбер Жирар (1629). Закрепился этот формат благодаря Ньютону и Лейбницу.

${\boldsymbol {\Sigma }}$

Знак суммы ввёл Эйлер в 1755 году.

${\boldsymbol {\Pi }}$

Знак произведения ввёл Гаусс в 1812 году.

$|x|$

Обозначение абсолютной величины и модуля комплексного числа появились у Вейерштрасса в 1841 году. В 1903 году Лоренц использовал эту же символику для длины вектора.

Отношения

Первое печатное появление знака равенства (записано уравнение $14x+15=71$)

${\boldsymbol {=}}$

В качестве знака равенства математики предлагали самые разные обозначения: подстрочное тире, пробел, слово est, сокращения слова «равно» и т. п. Современный символ предложил Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. Некоторое время распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. Декарт предложил для равенства другой символ, напоминающий появившийся в тот же период символ бесконечности Валлиса: $\infty$, однако этот значок не получил поддержки. Первоначально размер символа Рекорда была переменным — знак могли удлинять, чтобы записанный после него результат попал в нужную колонку на листе с расчётом. В континентальной Европе знак равенства был введён Лейбницем и окончательно утвердился к концу XVIII века.

$\approx$

Знак «приблизительно равно» придумал немецкий математик З. Гюнтер (Adam Wilhelm Siegmund Günther, 1848—1923) в 1882 году.

$\neq$

Знак «не равно» впервые встречается, вероятно, у Эйлера; во всяком случае, он это обозначение активно использовал.

$\equiv$

Автор знака «тождественно равно» — Бернхард Риман (1857). Этот же символ, по предложению Гаусса, используется в теории чисел как знак сравнения по модулю, а в логике — как знак операции эквивалентности.

$<\ \ >$

Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами: больше, меньше.

$\leqslant \ \ \geqslant$

Символы нестрогого сравнения первым предложил Валлис в 1670 году. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас. Общее распространение эти символы получили после поддержки французского математика Пьера Бугера (1734), у которого они приобрели современный вид.

$A:B=C:D$

Обозначений для пропорции предлагалось множество — Декарт использовал запись $a|b||c|d,$ Отред писал: $A.B::C.D$ и др. В конечном счёте победу одержала современная символика, предложенная Лейбницем в 1708 году

$\ll \;\gg$

Эти обозначения были введены Анри Пуанкаре и Эмилем Борелем (1901) и использовались для указания, что один ряд мажорируется другим. Иногда они используются в этом узком смысле и сейчас, но чаще означают «много меньше» и «много больше».

Функции

$f(x)$

Долгое время математики задавали аргументы без скобок: $fx$, скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи $\sin x,\lg x$ и др. Первые такие обозначения использовал Иоганн Бернулли в 1718 году. Но постепенно использование скобок стало общим правилом .

$\log _{a}b,\;\lg ,\;\ln ,\;\mathrm {li}$

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log. Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века; в частности, символ ln для натурального логарифма впервые появляется у Ирвинга Стрингхема (1893). Автором обозначения li(x) для интегрального логарифма является Иоганн фон Зольднер (1809).

$\sin ,\cos$

Сокращённые обозначения для синуса и косинуса предложил Иоганн Бернулли в 1739 году, их сразу поддержал Эйлер.

$\tan ,\operatorname {tg} ,\cot ,\operatorname {ctg}$

Сокращённые обозначения тангенса и котангенса: $\operatorname {tg} ,\operatorname {ctg}$ введены Иоганном Бернулли в XVIII веке, они получили распространение в Германии и России. В других странах употребляются краткие названия этих функций $\tan ,\cot$, предложенные Альбером Жираром ещё ранее, в начале XVII века.

$\arcsin$

Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью приставки arc (от лат. arcus, дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}$, но они не прижились.

$[x]$

Символ функции «целая часть» ввёл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E(x), предложенное в 1798 году Лежандром.

$\lfloor x\rfloor ,\;\lceil x\rceil$

Две пары символов-уголков, означающие округление вещественного числа до целого в меньшую или бо́льшую сторону соответственно, ввёл Кеннет Айверсон в 1962 году.

$\operatorname {sgn} (x)$

Полезную во многих случаях функцию sgn (от лат. signum, знак) начал использовать в своих лекциях Кронекер (1884).

Геометрия

$\angle \ \ \perp$

Символы «угол» и «перпендикулярно» придумал в 1634 году французский математик Пьер Эригон. Символ угла у Эригона напоминал значок $<$, современную форму ему придали английские математики Сет Уорд (1654) и Уильям Отред (1657). Прямой угол нередко обозначался буквой d (от фр. droit ‘прямой’).

$\|$

Символ параллельности известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала этот символ выглядел как нынешний знак равенства, но с появлением последнего — во избежание путаницы — Отред (1677), Керси (англ. John Kersey) и другие математики XVII века придали образующим символ линиям вертикальное направление.

$30^{\circ }40'50''$

Современные обозначения угловых единиц (градусы, минуты, секунды) встречаются ещё в «Альмагесте» Птолемея, однако в средневековой Европе вместо них писали словами: gradus, minutes, secundae. Вновь эти символы использовал в 1568 году французский математик и поэт Жак Пелетье, после чего они быстро вошли в общее употребление (в частности, у Тихо Браге, Георга Ретика и Иоганна Кеплера). Радианную меру углов, более удобную для анализа, предложил в 1714 году английский математик Роджер Котс. Сам термин радиан придумал в 1873 году Джеймс Томсон, брат известного физика лорда Кельвина.

$\pi$

Джон Валлис использовал для числа 3,14159… символ квадрата $\Box$ (намекая на квадратуру круга) или еврейскую букву מ («мем»), тоже похожую на квадрат. Уильям Отред и Исаак Барроу обозначали это число следующим образом: $\pi /\delta$: здесь $\pi$ обозначает окружность, а $\delta$ — её диаметр, так что вся запись есть сокращение для «отношения длины окружности к диаметру». Общепринятое обозначение $\pi$ впервые образовал Уильям Джонс в 1706 году, взяв первую букву слов греч. περιφέρεια ‘окружность’ и περίμετρος ‘периметр’. Это сокращение понравилось Эйлеру, труды которого закрепили обозначение окончательно.

$\phi$

Обозначение $\phi$ для отношения золотого сечения ввёл британский теоретик искусства Теодор Кук (1914).

${\bar {a}},{\vec {a}},\mathbf {a} ,{\mathfrak {A}},{\mathfrak {a}}$

Понятие вектора ввёл в науку в 1847 году Уильям Роуэн Гамильтон в рамках своей теории кватернионов (назвав вектором кватернион с нулевой скалярной частью); он обозначал векторы греческими буквами, а скаляры — латинскими. Впрочем, еще в 1803 году Лазар Карно пользовался понятием геометрического количества, понимая под ним в основном направленные отрезки и обозначая отрезок с началом в точке A и концом в точке B при помощи чёрточки наверху: ${\overline {AB}}$;  Август Фердинанд Мёбиус в 1827 году предложил представлять такой отрезок в виде разности $B-A$.  Джеймс Клерк Максвелл предпочитал обозначать векторы готическими буквами, основоположники векторного анализа Оливер Хевисайд и Джозайя Уиллард Гиббс — жирным шрифтом. Все эти виды символики встречаются до сих пор, но чаще всего используется чёрточка (или стрелка) над буквой, предложенная в 1806 году Жаном Арганом для комплексных чисел.

$\left\|{\bar {a}}\right\|$

Обозначение $\left\|{\bar {a}}\right\|$ для нормы вектора ${\bar {a}}$ впервые появилось у Эрхарда Шмидта (1908) в частном случае нормы в пространстве $\ell _{2}$. Общее определение нормы в абстрактном векторном пространстве дал Стефан Банах в статье «Об операциях над абстрактными множествами…» (1922), где он также пользовался данным обозначением.

$\Gamma _{ij}^{k}$

Символы Кристоффеля, лежащие в основе тензорного анализа и общей теория относительности, опубликованы Элвином Бруно Кристоффелем в статье 1869 года.

Математический анализ

$(a,b)\ [a,b]$

Обозначение интервала вещественных чисел впервые употребил в 1909 году немецкий математик Герхард Ковалевский; если граничная точка включалась в интервал, то вместо круглых скобок использовались угловые. В 1921 году Ханс Хан заменил угловые скобки на квадратные, и эта символика укоренилась в науке.

$e$

Стандартное обозначение числа Эйлера e = 2,7182818… предложено Эйлером (1728, опубликовано в 1736 году).

$\Delta x$

Обозначение приращения буквой $\Delta$ впервые употребили Иоганн Бернулли и Эйлер (1755).

$o,O$

Символы бесконечно малых использовал шотландский математик Джеймс Грегори. У него обозначение «о малое» перенял Ньютон. Заглавный вариант символа в современном значении появился в книге Пауля Бахмана (1894). Оба символа популяризировал Эдмунд Ландау в работе 1909 года, в связи с чем за рубежом их нередко называют «символы Ландау».

$dx\quad {\frac {dy}{dx}}\quad {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$

Обозначения dx и dy для дифференциалов аргумента и функции введены Лейбницем в мемуаре «Новый метод максимумов и минимумов…» (1684), после чего естественным образом появилось и обозначение производной в виде отношения дифференциалов. В мемуаре «Ответ господину Бернарду Ньивентейту…» (1695) Лейбниц рассматривает и дифференциалы высших порядков, вводя для них вполне современные обозначения.

${\dot {x}}$

Традиция обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691).

$f'(x)$

Краткое обозначение производной штрихом восходит к Лагранжу.

${\frac {\partial }{\partial x}}$

Символ частной производной сделали общеупотребительным сначала Карл Якоби (1837), а затем Вейерштрасс, хотя это обозначение уже встречалось ранее в одной работе Лежандра (1786).

$\int \ \iint \ \iiint$

Обозначение интеграла образовано Лейбницем от начальной буквы слова «Сумма» (лат. Summa) в видоизменённом начертании; впервые появилось в рукописи, датированной 29 октября 1685 года, а затем встречается в мемуаре «О скрытой геометрии и анализе неделимых…» (1686). Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией или символ квадрата $\Box$, который стоит перед функцией или окаймляет её. Двойной интеграл по произвольной плоской области ввёл Эйлер (1769), тройной (по объёму) вскоре начал использовать Лагранж.

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Оформление определённого интеграла в привычном нам виде придумал Фурье, который использовал его с 1816 года.

$\oint$

Обозначение с кружком для криволинейного интеграла по замкнутому контуру предложил в 1923 году Крамерс.

$\lim _{x\to a}f(x)$

Символ предела появился в 1787 году у Симона Люилье и получил поддержку Коши (1821). Предельное значение аргумента сначала указывалось отдельно, после символа lim, а не под ним. Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, однако вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков.

Уравнения Максвелла, записанные с помощью наблы

$\nabla$

Символ этого дифференциального оператора придумал Уильям Роуэн Гамильтон (1853), а название «набла» предложил в шутку один из друзей шотландского математика Тэта, друга Гамильтона, заметив, что форма этого значка напоминает ассирийскую арфу с таким (древнегреческим) названием (1892). Используется также термин «оператор Гамильтона».

$\Delta$

Распространённый в математической физике символ оператора Лапласа («лапласиан») появился в 1833 году у английского физика и математика Роберта Мёрфи (Robert Murphy, 1806–1843).

$\mathrm {grad} ,\mathrm {div} ,\mathrm {rot}$

Символика классических дифференциальных операторов векторного анализа формировалась постепенно на рубеже XIX—XX веков. Понятие градиента ввёл Уильям Гамильтон ещё в 1846 году, но название и общепринятое обозначение термина появилось около 1900 года в немецкой школе, возможно, благодаря Генриху Веберу. Понятия дивергенции и ротора введены Максвеллом в его работах по теории электромагнитного поля; термины и обозначения предложил Клиффорд (1878).

Математическая логика и теория множеств

В математической логике предложено большое число символов логических операций, причём различные авторы часто пользовались для одной и той же операции различными обозначениями. Значительно большая степень унификации характерна для символики теории множеств.

$\land \ \&\ \lor \ \lor \lor$

Близкие к современным обозначения $\land$ для конъюнкции и $\lor$ для дизъюнкции предложил Джордж Буль (1854); они были по сравнению с ныне употребляемыми вариантами более «сглаженными», в виде дуг окружности. Современный символ дизъюнкции $\lor$ впервые встречается в статье «Математическая логика, основанная на теории типов» Бертрана Рассела (1908), в то время как конъюнкция обозначена там точкой на линии строки (знак дизъюнкции образован от лат. vel ‘или’; позднее возникла традиция двойным знаком дизъюнкции обозначать операцию строгой дизъюнкции). Современный символ конъюнкции $\land$ (перевёрнутый знак дизъюнкции) предложен Арендом Гейтингом (1930); распространённой альтернативой для него остаётся знак амперсанда $\&$. В языках программирования для конъюнкции, дизъюнкции и строгой дизъюнкции применяются обычно другие обозначения (например, в языке Ада используются зарезервированные слова and, or и xor, а в языках C и C++ — обозначения &, |, ^ для побитовых операций и &&, || для логических операций).

$\sim \ \lnot \ \mid \ \downarrow$

Логическое отрицание Джузеппе Пеано в 1897 году обозначил символом $\sim$ (тильда), похожим на минус; сейчас стандартным является близкий к нему символ $\lnot$, также предложенный Гейтингом в 1930 году. В языках программирования для отрицания применяют и другие обозначения (так, в языке Ада используется зарезервированное слово not, а в языках C и C++ — обозначения ~ для побитовой операции и ! для логического отрицания. Штрих Шеффера $\mid$, обозначающий операцию антиконъюнкции, ввёл Генри Шеффер, обосновавший в своей статье «Набор пяти независимых постулатов…» (1913) возможность построения логики высказываний на основе единственной логической операции — антиконъюнкции. Результаты Шеффера, впрочем, предвосхитил Чарльз Пирс (1880), который в неопубликованной при его жизни работе «Булева алгебра с одной константой» фактически осуществил такое построение на основе другой операции — антидизъюнкции, для обозначения которой обычно используют знак $\downarrow$ (стрелка Пирса).

$\to \ \supset \ \equiv \ \leftrightarrow$

Знак $\to$ для обозначения импликации предложил Давид Гильберт (1922); не менее распространён и знак $\supset$, употреблявшийся ещё Эрнстом Шрёдером (1890). Для обозначения эквиваленции используют как символ тождества $\equiv$ (так поступал Рассел в уже упоминавшейся работе 1908 года), так и знак $\leftrightarrow$, предложенный Альбрехтом Беккером (1933).

$\forall \ \exists$

Первые символы для кванторов появились в 1879 году в книге Готлоба Фреге «Исчисление понятий»; обозначения Фреге основывались на громоздкой двумерной нотации и в дальнейшем широкого распространения не получили. Впоследствии были предложены более удачные обозначения; например, Оскар Митчелл в 1883 году и Чарльз Пирс в 1885 году использовали заглавные греческие буквы $\Pi$ и $\Sigma$ (сам термин «квантор» также предложил Пирс). Общепринятым для квантора существования стало обозначение $\exists$ (Джузеппе Пеано, 1897), а для квантора общности — символ $\forall$, образованный Герхардом Генценом в 1935 году по аналогии с символом Пеано; эти символы представляют собой перевёрнутые первые буквы английских слов Exists ‘существует’ и All ‘все’.

$\vdash$

Знак выводимости (турникет) введён, по существу, Фреге (1879) в уже упоминавшейся книге «Исчисление понятий». В современном начертании встречается у Бертрана Рассела (1908).

$\in \ \cap \ \cup \ \subset \ \supset$

На символику теории множеств большое влияние оказала тесно связанная с ней и уже хорошо разработанная к концу XIX века символика математической логики. Знак принадлежности $\in$ (по происхождению — стилизованная буква ε в греч. εστι ‘быть’) был введён Джузеппе Пеано (1889) в работе «Основания арифметики, изложенные новым способом». Он же является автором символов пересечения и объединения множеств (1888). Теоретико-множественные символы «содержится» и «содержит» появились в 1890 году у Эрнста Шрёдера.

$\aleph \ \omega$

В 1880-е годы Георг Кантор открыл иерархию бесконечных множеств и упорядочил их по мощности. Наименьшую из них — мощность натурального ряда — он обозначил первой буквой еврейского алфавита с нулевым индексом: $\aleph _{0};$ для мощности множества вещественных чисел Кантор использовал $\omega ,$ последнюю букву греческого алфавита

$\varnothing$

Знак $\varnothing$ для обозначения пустого множества предложил в 1939 году Андре Вейль в ходе работы группы Бурбаки над подготовкой к изданию книги «Теория множеств. Сводка результатов» трактата «Элементы математики» (в качестве прототипа знака была использована буква норвежского алфавита с тем же начертанием).

Другие обозначения

%

Символ процента появился в середине XVII века сразу в нескольких источниках, его происхождение неясно. Есть гипотеза, что он возник от ошибки наборщика, который сокращение cto (cento, сотая доля) набрал как 0/0. Более вероятно, что это скорописный коммерческий значок, возникший лет на 100 раньше.

$C_{n}^{k}\ {n \choose k}\ A_{n}^{k}$

Обозначение $C_{n}^{k}$для числа сочетаний (или, что то же самое, для биномиальных коэффициентов) появилось в 1880 году у английского математика Роберта Поттса (Robert Potts, 1805—1885), оно происходит от лат. combination — сочетание. При этом в обозначении Поттса верхний символ $k$ располагался слева, а не справа от буквы C. За рубежом распространён второй вариант обозначения: $~{n \choose k},$ предложенный Эйлером, но и он вначале отличался от современного: $n,k$ у Эйлера были переставлены и разделены горизонтальной чертой, как у дроби. Принятые сейчас обозначения стандартизовал немецкий математик Андреас фон Эттингсхаузен в 1827 году. Обозначение $A_{n}^{k}$для числа размещений предложил в 1904 году другой немецкий математик Ойген Нетто, по аналогии с числом сочетаний.

$\infty$

Символ бесконечности придумал Джон Валлис, опубликован в 1655 году.

$x_{n}$

Индексацию для нумерации однородных переменных в современном виде ввёл Ньютон (1717). Первое время, из-за типографских ограничений, индексы печатались не ниже строки, а на том же уровне. Двойные индексы (для элементов матриц) ввёл в общее пользование Якоби (1835).

$n!\$

Символ факториала предложил Кристиан Крамп (1808); ранее (у Гаусса, Якоби и других) встречались обозначения $\Pi (n)$ и $\Pi _{n}$.

${\cancel {0}}\ {\cancel {O}}$

В инженерной практике перечёркнутый кружок используется для обозначения диаметра (символ Unicode-8960). При работе с компьютером иногда возникает опасность спутать цифру $0$ с латинской или русской буквой О (например, при вводе пароля или именовании файла); во избежании путаницы в некоторых операционных системах было рекомендовано перечёркивать один из этих символов. Например, для ЭВМ Минск-32 перечёркивалась буква О, а ноль не перечёркивался, в то время как стандартные шрифты MS-DOS и многих матричных принтеров придерживались противоположного соглашения. В современных компьютерных шрифтах буква О заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.

См. также

• Математические обозначения
• Таблица математических символов
• Таблица обозначений абстрактной алгебры
• Категория:Математические знаки

Литература

• Александрова Н. В. . История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  • Переиздание 2015 года: URSS, ISBN 978-5-382-01578-1.
• Башмакова И. Г. . Становление алгебры (из истории математических идей). — М.: Знание, 1979. — 64 с. — (Математика, кибернетика, № 9 (1979)).
• Вилейтнер Г. . История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 468 с. — С. 13—17.
• Глейзер Г. И. . История математики в школе. IV — VI классы. — М.: Просвещение, 1981. — 239 с.
• Глейзер Г. И. . История математики в школе. VII — VIII классы. — М.: Просвещение, 1982. — 240 с.
• Глейзер Г. И. . История математики в школе. IX — X классы. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
• Депман И. Я. . История арифметики. Пособие для учителей. 2-е изд. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с. — С. 208—212.
• Знаки математические // Большая советская энциклопедия. — Изд. 3-е. — Т. 9.
• Знаки математические // Математическая энциклопедия. Т. 2 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — 1104 стб. — Стб. 457—463.
• Знаки математические // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — 352 с. — С. 114—116.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах:
  • История математики. Т. I. С древнейших времён до начала Нового времени / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
  • История математики. Т. II. Математика XVII столетия / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 301 с.
  • История математики. Т. III. Математика XVIII столетия / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1972. — 496 с.
• Кондаков Н. И. . Логический словарь-справочник. 2-е изд. — М.: Наука, 1975. — 720 с.
• Кэджори Ф. . История элементарной математики. 2-е изд / Пер. с англ. под ред. И. Ю. Тимченко. — Одесса: Mathesis, 1910. — x + 368 с.
• Стяжкин Н. И. . Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967. — 508 с.
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1976. — 318 с.
• Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — 224 с.
• Цейтен Г. Г. . История математики в XVI и XVII веках. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.
• Ben-Menahem A. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Vol. 1. — Berlin: Springer-Verlag, 2007. — cxxix + 5985 p. — ISBN 978-3-540-68831-0.
• Cajori F. . A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
• Cajori F. . A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xii + 392 p. — ISBN 978-1-60206-713-4.

Ссылки

• Математические знаки  (неопр.). Дата обращения: 30 декабря.
• Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (англ.). Дата обращения: 17 декабря.
• Gérard P. Michon. Scientific Symbols and Icons (англ.). Дата обращения: 17 декабря.