Равногранный тетраэдр

Равногранный тетраэдр — определённый тип тетраэдра в евклидовом пространстве.

По-видимому, впервые равногранные тетраэдры подробно изучались Адольфом Шмидтом в 1884 году и Давидом Бессо в 1886 году. В 1935 году свойства равногранных тетраэдров систематически изложены в книге.

Определение

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани — равные между собой треугольники.

Свойства

Существует ряд эквивалентных определений равногранного тетраэдра:

Равногранный тетраэдр с описанным прямоугольным параллелепипедом.

1. описанный около него параллелепипед — прямоугольный;
2. его развёртка, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, — треугольник (этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по средним линиям не сложится в тетраэдр);
3. его развёртка, полученная при разрезании ломаной из трёх звеньев, — параллелограмм;
4. у него имеется три оси симметрии — это общие перпендикуляры, проведённые к противоположным рёбрам, они же бимедианы;
5. все его трёхгранные углы равны
6. сумма углов треугольников при каждой вершине равна $\pi$);
7. сумма косинусов двугранных углов при каждой вершине равна 1;
8. все его медианы равны;
9. все его высоты равны;
10. центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают;
11. радиусы окружностей описанных около граней равны;
12. периметры граней равны;
13. площади граней равны;
14. противоположные двугранные углы равны;
15. противоположные рёбра равны;
16. центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере;
17. среди выпуклых многогранников, равногранные тетраэдры и только они допускают произвольно длинные замкнутые геодезические без самопересечений на своих поверхностях; (То же свойство выделяет равногранные тетраэдры среди всех замкнутых выпуклых поверхностей.)
18. тетраэдр $ABCD$ является равногранным тогда и только тогда когда выполняется равенство $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=72\cdot V^{2}$. Здесь $a=AB\cdot CD$, $b=AC\cdot BD$, $c=AD\cdot BC$, и $V$ — объём тетраэдра $ABCD$.

Литература

• В. Александров. Вращающееся кольцо тетраэдров «Квант», № 5, 2001 г. С.31.
• В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин Задачи по стереометрии. М.: Наука, 1989. 288 с ISBN 5-02-013921-1; Тираж 163000 экз. Серия Библиотека математического кружка, выпуск 19.