Равногранный тетраэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Disphenoid2.jpg

Равногранный или равнобедренный тетраэдр — определённый тип тетраэдра в евклидовом пространстве.

Рассматривались Давидом Бессо, по-видимому первая публикация о равногранных тетраэдрах относится к 1886 году.[1]

Определение[править | править код]

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани — равные между собой треугольники.

Свойства[править | править код]

Существует ряд эквивалентных определений равногранного тетраэдра:

Равногранный тетраэдр с описанным прямоугольным параллелепипедом.
  1. описанный около него параллелепипед — прямоугольный;
  2. его развёртка, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, — треугольник (этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по средним линиям не сложится в тетраэдр);
  3. его развёртка, полученная при разрезании ломаной из трёх звеньев, — параллелограм;
  4. у него имеется три оси симметрии — это общие перпендикуляры, проведённые к противоположным рёбрам, они же бимедианы;
  5. все его трёхгранные углы равны
  6. сумма углов треугольников при каждой вершине равна );
  7. сумма косинусов двугранных углов при каждой вершине равна 1;
  8. все его медианы равны;
  9. все его высоты равны;
  10. центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают;
  11. радиусы окружностей описанных около граней равны;
  12. периметры граней равны;
  13. площади граней равны;
  14. противоположные двугранные углы равны;
  15. противоположные рёбра равны;
  16. центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере;
  17. среди выпуклых многогранников, равногранные тетраэдры и только они допускают произвольно длинные замкнутые геодезические без самопересечений на своих поверхностях;[2] (То же свойство выделяет равногранные тетраэдры среди всех замкнутых выпуклых поверхностей.[3])
  18. тетраэдр является равногранным если и только если выполняется равенство . Здесь , , , и — объём тетраэдра .[4]

Примечания[править | править код]

  1. D. Besso, Sul tetraedro a facce eguali, Besso Per. I. 1-12 (1886).
  2. В. Ю. Протасов. О числе замкнутых геодезических на многограннике // УМН. — 2008. — Т. 63, № 5(383). — С. 197–198.
  3. Akopyan, Arseniy; Petrunin, Anton; Long Geodesics on Convex Surfaces. Math. Intelligencer 40 (2018), no. 3, 26–31
  4. M. Mazur. An inequality for the volume of a tetrahedron (англ.) // The American Mathematical Monthly. — 2018. — Т. 125, № 3. — С. 273-275. — ISSN 0002-9890.

Ссылки[править | править код]