Равногранный тетраэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Disphenoid2.jpg

Равногранный или равнобедренный тетраэдр — определённый тип тетраэдра в евклидовом пространстве.

Рассматривались Дадидом Бессо, по-видимому первая публикация о равногранных тетраэдрах относится к 1886 году.[1]

Определение[править | править вики-текст]

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани — равные между собой треугольники.

Свойства[править | править вики-текст]

Существует ряд эквивалентных определений равногранного тетраэдра:

Равногранный тетраэдр с описанным прямоугольным параллелепипедом.
  1. описанный около него параллелепипед — прямоугольный;
  2. его развёртка, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, — треугольник (этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по средним линиям не сложится в тетраэдр);
  3. у него имеется три оси симметрии — это общие перпендикуляры, проведённые к противоположным рёбрам, они же бимедианы;
  4. все его трёхгранные углы равны (в точности сумма двугранных углов при каждой вершине равна )
  5. сумма косинусов двугранных углов при каждой вершине равна 1;
  6. все его медианы равны;
  7. все его высоты равны;
  8. центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают;
  9. радиусы окружностей описанных около граней равны;
  10. периметры граней равны;
  11. площади граней равны;
  12. противоположные двугранные углы равны.
  13. противоположные рёбра равны.
  14. Центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере.
  15. Среди выпуклых многогранников, равногранные тетраэдры и только они допускают произвольно длинные замкнутые геодезические без самопересечений на своих поверхностях.[2]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. D. Besso, Sul tetraedro a facce eguali, Besso Per. I. 1-12 (1886).
  2. В. Ю. Протасов О числе замкнутых геодезических на многограннике // УМН. — 2008. — Т. 63, № 5(383). — С. 197–198.

Ссылки[править | править вики-текст]