Звёздчатый октаэдр
Звёздчатый октаэдр | |||
---|---|---|---|
Комбинаторика | |||
Элементы |
|
||
Грани | правильные треугольники | ||
Двойственный многогранник | самодвойственен | ||
Классификация | |||
Символ Шлефли | |||
Диаграмма Дынкина | ∪ = | ||
Группа симметрии |
Октаэдральная (Oh) [4,3] or [[3,3]] |
||
Медиафайлы на Викискладе |
Звёздчатый октаэдр, или stella octangula, — единственная звёздчатая форма октаэдра. Латинским именем stella octangula многогранник назвал Кеплер в 1609, хотя он был известен более ранним геометрам[англ.]. Так, он изображён в труде Пачоли De Divina Proportione, 1509.
Многогранник является простейшим из пяти правильных соединений многогранников.
Звёздчатый октаэдр можно рассматривать как трёхмерное обобщение гексаграммы — гексаграмма является двумерной фигурой, образованной двумя наложенными друг на друга правильными треугольниками, центрально симметричными друг другу, и точно таким же образом звёздчатый октаэдр может быть образован из двух центрально симметричных пересекающихся тетраэдров. Его же можно рассматривать как одну из стадий построения 3D-снежинки Коха, фрактальной фигуры, получаемой повторяющимся присоединением меньших тетраэдров к каждой треугольной поверхности большей фигуры. Начальной стадией построения снежинки Коха является один центральный тетраэдр, а второй стадией, полученной добавлением четырёх меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, и будет звёздчатый октаэдр.
Построение
[править | править код]Звёздчатый октаэдр можно получить несколькими путями:
- Это образование звёздчатой формы правильного октаэдра, сохраняющее его плоскости граней. Грани звезды очень простые: (См. модель Веннинджера W19).
- Он является правильным соединением многогранников, если строить как объединение двух тетраэдров (тетраэдр и двойственный ему тетраэдр).
- Его можно получить дополнением правильного октаэдра треугольными пирамидами к каждой грани. В этом построении многогранник имеет ту же топологию, что и выпуклое каталаново тело триакисоктаэдр, имеющее куда более короткие пирамиды.
- Это огранка куба с сохранением вершин.
Связанные концепции
[править | править код]Можно построить соединение двух сферических тетраэдров, как показано на рисунке.
Два тетраэдра в соединении звёздчатого октаэдра являются «десмичными», что означает (если рассматривать их как прямые в проективном пространстве), что каждое ребро одного тетраэдра пересекает противоположное ребро другого тетраэдра. Одно из таких пересечений видно в звёздчатом октаэдре. Другое пересечение оказывается в бесконечной точке проективной плоскости между двумя параллельными рёбрами двух тетраэдров. Эти два тетраэдра могут быть дополнены до десмичной системы[англ.] трёх тетраэдров, где третий тетраэдр имеет в качестве чётырёх вершин три точки пересечения на бесконечности и центроид двух конечных тетраэдров. Те же самые двенадцать вершин тетраэдров образуют точки конфигурации Рейе.
Числа звёздчатого октаэдра — фигурные числа, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри звёздчатого октаэдра. Эти числа равны
В популярной культуре
[править | править код]Звёздчатый октаэдр представлен наряду с некоторыми другими многогранниками и соединениями многогранников на картинах Эшера «Звёзды» [1] и «Двойной астероид» (1949)[2].
Галерея
[править | править код]-
Это полная симметрическая огранка куба
Примечания
[править | править код]- ↑ Hart, 1996.
- ↑ Coxeter, 1985, с. 59–69.
Литература
[править | править код]- P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — ISBN 0-521-55432-2.
- H.S.M Coxeter. 3.6 The five regular compounds, pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104 // Regular Polytopes[англ.]. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
- George W. Hart. The Polyhedra of M.C. Escher // WEB-статья. — 1996.
- H. S. M. Coxeter. A special book review: M. C. Escher: His life and complete graphic work // The Mathematical Intelligencer. — 1985. — Т. 7, вып. 1. — doi:10.1007/BF03023010.
Ссылки
[править | править код]- VRML модель: [1]
- MathWorld, Stella Octangula Архивная копия от 10 декабря 2015 на Wayback Machine
- KlitzingPolytopes|../incmats/so.htm Richard Klitzing, 3D compound Архивная копия от 6 ноября 2015 на Wayback Machine
Для улучшения этой статьи желательно:
|