Звёздчатый октаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Звёздчатый октаэдр
Звёздчатый октаэдр
Тип Правильное соединение
многогранников
Граней 8 треугольников
Рёбер 12
Вершин 8
Группы симметрии
Группа Коксетера
Октаэдральная (Oh)
[4,3] or [[3,3]]
Ядро Октаэдр
Символ Шлефли
Символ Коксетера {4,3}[2{3,3}]{3,4}[1]
Диаграмма Коксетера CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png = CDel node h3.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Выпуклая оболочка Куб
Index UC4, W19[en]
Двойственный Самодвойственен

Звёздчатый октаэдр, или stella octangula, — единственная звёздчатая форма октаэдра. Латинским именем stella octangula многогранник назвал Кеплер в 1609, хотя он был известен более ранним геометрам[en]. Так, он изображён в труде Пачоли De Divina Proportione, 1509.

Многогранник является простейшим из пяти правильных соединений многогранников.

Звёздчатый октаэдр можно рассматривать как трёхмерное обобщение гексаграммы — гексаграмма является двумерной фигурой, образованной двумя наложенными друг на друга правильными треугольниками, центрально симметричными друг другу, и точно таким же образом звёздчатый октаэдр может быть образован из двух центрально симметричных пересекающихся тетраэдров. Его же можно рассматривать как одну из стадий построения 3D-снежинки Коха, фрактальной фигуры, получаемой повторяющимся присоединением меньших тетраэдров к каждой треугольной поверхности большей фигуры. Начальной стадией построения снежинки Коха является один центральный тетраэдр, а второй стадией, полученной добавлением четырёх меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, и будет звёздчатый октаэдр.

Построение[править | править код]

Звёздчатый октаэдр можно получить несколькими путями:

Связанные концепции[править | править код]

У представленного в виде сферической мозаики звёздчатого октаэдра рёбра в соединении двух тетраэдров образуют ромбододекаэдр

Можно построить соединение двух сферических тетраэдров, как показано на рисунке.

Два тетраэдра в соединении звёздчатого октаэдра являются «десмичными», что означает (если рассматривать их как прямые в проективном пространстве), что каждое ребро одного тетраэдра пересекает противоположное ребро другого тетраэдра. Одно из таких пересечений видно в звёздчатом октаэдре. Другое пересечение оказывается в бесконечной точке проективной плоскости между двумя параллельными рёбрами двух тетраэдров. Эти два тетраэдра могут быть дополнены до десмичной системы[en] трёх тетраэдров, где третий тетраэдр имеет в качестве чётырёх вершин три точки пересечения на бесконечности и центроид двух конечных тетраэдров. Те же самые двенадцать вершин тетраэдров образуют точки конфигурации Рейе.

124 магнитных шара, расположенные в форме звёздчатого октаэдра

Числа звёздчатого октаэдра — фигурные числа, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри звёздчатого октаэдра. Эти числа равны

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, … (последовательность A007588 в OEIS)

В популярной культуре[править | править код]

Звёздчатый октаэдр представлен наряду с некоторыми другими многогранниками и соединениями многогранников на картинах Эшера «Звёзды»[en] [2] и «Двойной астероид» (1949)[3].

Галерея[править | править код]

Stella-octangula-in-cube.png
Это полная симметрическая огранка куба
Stellated octahedron persp 7.svg Stellated octahedron persp 1.svg Stellated octahedron persp 6.svg
CubeAndStel.svg Stellated octahedron persp 2.svg Stellated octahedron persp 4.svg Stellated octahedron persp 3.svg

Примечания[править | править код]

  1. Coxeter, 1973, с. 48-50, 98.
  2. Hart, 1996.
  3. Coxeter, 1985, с. 59–69.

Литература[править | править код]

  • P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — ISBN 0-521-55432-2.


  • H.S.M Coxeter. 3.6 The five regular compounds, pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104 // Regular Polytopes[en]. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • George W. Hart. The Polyhedra of M.C. Escher // WEB-статья. — 1996.
  • H. S. M. Coxeter. A special book review: M. C. Escher: His life and complete graphic work // The Mathematical Intelligencer. — 1985. — Т. 7, вып. 1. — DOI:10.1007/BF03023010.

Внешние ссылки[править | править код]