Пентакисдодекаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пентакисдодекаэдр
Pentakisdodecahedron.jpg
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип каталаново тело
Свойства выпуклый, изоэдральный
Комбинаторика
Элементы
60 граней
90 рёбер
32 вершины
Грани равнобедренные треугольники:
Грань пентакисдодекаэдра
Конфигурация вершины 12(35)
20(36)
Конфигурация грани V5.6.6
Развёртка
Pentakisdodecahedron net.png
Двойственный многогранник усечённый икосаэдр
Классификация
Обозначения kD
Группа симметрии Ih (икосаэдрическая)
Commons-logo.svg Пентакисдодекаэдр на Викискладе

Пентакисдодека́эдр (от др.-греч. πεντάχις — «пятижды», δώδεκα — «двенадцать» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому икосаэдру. Составлен из 60 одинаковых остроугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен а два других

Имеет 32 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими бо́льшими углами по 5 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся меньшими углами по 6 граней.

У пентакисдодекаэдра 90 рёбер — 30 «длинных» (расположенных так же, как рёбра додекаэдра) и 60 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен

Пентакисдодекаэдр можно получить из додекаэдра, приложив к каждой его грани правильную пятиугольную пирамиду с основанием, равным грани додекаэдра, и высотой, которая в раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 5 граней вместо каждой из 12 граней исходного — с чем и связано его название.

Наземная станция системы спутниковой связи SPTR-2 в Антарктиде. Обтекатель антенны выполнен в виде пентакисдодекаэдра.

Метрические характеристики[править | править код]

Если «короткие» рёбра пентакисдодекаэдра имеют длину , то его «длинные» рёбра имеют длину а площадь поверхности и объём выражаются как

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

Описать около пентакисдодекаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки[править | править код]