Дельтоидальный гексеконтаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Дельтоидальный гексеконтаэдр
Дельтоидальный гексеконтаэдр
(Здесь можно посмотреть вращающуюся модель)
Тип Полуправильный многогранник
(каталаново тело)
Грань дельтоид:Грань дельтоидального гексеконтаэдра
Граней 60
Рёбер 120
Вершин 62
Граней при вершинах 5 при 12 вершинах,
3 при 20 вершинах,
4 при 30 вершинах
Группа симметрии Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный
многогранник
Ромбоикосододекаэдр
Развёртка Deltoidalhexecontahedron net.png

Дельтоида́льный гексеконта́эдр (от «дельтоид» и др.-греч. ἑξήκοντα — «шестьдесят», ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоикосододекаэдру. Составлен из 60 одинаковых выпуклых дельтоидов.

Имеет 62 вершины. В 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 5 граней; в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 3 грани; в остальных 30 вершинах (расположенных так же, как вершины икосододекаэдра) сходятся своими средними по величине углами по 4 грани.

Имеет 120 рёбер — 60 «длинных» (вместе образующих нечто вроде «раздутого» остова икосаэдра) и 60 «коротких» (образующих «раздутый» остов додекаэдра).

Дельтоидальный гексеконтаэдр — единственное каталаново тело, в котором нет гамильтонова пути.

Метрические характеристики и углы[править | править вики-текст]

Грань дельтоидального гексеконтаэдра

Если «короткие» рёбра дельтоидального гексеконтаэдра имеют длину b, то его «длинные» рёбра имеют длину

a = \frac{1}{6}\left(7+\sqrt5\right)b \approx 1,5393447b.

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

S = \sqrt{10\left(437+185\sqrt5\right)}\;b^2 \approx 92,2319129b^2,
V = \frac{1}{3}\sqrt{2\left(14765+6602\sqrt5\right)}\;b^3 \approx 81,0041436b^3.

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их центрах вписанных окружностей) при этом будет равен

r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{205}\left(2855+1269\sqrt5\right)}\;b \approx 2,6347977b,

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

\rho = \frac{1}{20}\left(25+13\sqrt5\right)b \approx 2,7034442b,

радиус окружности, вписанной в грань —

r_{\Gamma\Rho} =  \sqrt{\rho^2-r^2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{410}\left(317+127\sqrt5\right)}\;b \approx 0,6053525b,

меньшая диагональ грани (делящая грань на два равнобедренных треугольника) —

e = \sqrt{\frac{1}{10}\left(25+2\sqrt5\right)}\;b \approx 1,7167451b,

бо́льшая диагональ грани (делящая грань на два равных треугольника) —

f = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{5}\left(75+31\sqrt5\right)}\;b \approx 1,7908292b.

Описать около дельтоидального гексеконтаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Наибольший угол грани (между двумя «короткими» сторонами) равен \arccos \left(-\frac{5+2\sqrt5}{20}\right) \approx 118,27^\circ; наименьший угол грани (между двумя «длинными» сторонами) \arccos \, \frac{9\sqrt5-5}{40} \approx 67,78^\circ; два средних по величине угла (между «короткой» и «длинной» сторонами) \arccos \, \frac{5-2\sqrt5}{10} \approx 86,97^\circ.

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен \arccos \left(-\frac{19+8\sqrt5}{41}\right) \approx 154,12^\circ.

Ссылки[править | править вики-текст]