Гиробифастигиум

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Гиробифастигиум
Gyrobifastigium.png
Гиробифастигиум
Тип Многогранник Джонсона
Свойства выпуклый, ячейка сот
Комбинаторика
Элементы
 рёбер
 вершин
Грани 4 треугольника
4 квадрата
Классификация
Группа симметрии D2d

В геометрии гиробифастигиум или двускатный повёрнутый бикупол[1] является 26-м многогранником Джонсона (J26). Его можно построить объединением двух треугольных призм с правильными гранями по соответствующим квадратным граням с поворотом одной призмы на 90º [2]. Это единственное тело Джонсона, которым можно заполнить трёхмерное пространство[3][4].

История и название[править | править код]

Многогранник Джонсона является одним из 92 строго выпуклых многогранников, имеющих правильные грани, но не являющихся однородными многогранниками[en] (то есть не являющихся платоновыми телами, архимедовыми телами, призмами, или антипризмами). Тела названы именем Нормана Джонсона[en], впервые перечислившего их в 1966 [5].

Название гиробифастигиум происходит от латинского слова fastigium, означающего двускатную крышу [6]. В стандартных соглашениях наименования тел Джонсона би- означает соединение двух тел по их базису, а гиро- означает две половинки, повёрнутые относительно друг друга.

Положение гиробифастигиума в списке тел Джонсона непосредственно перед бикуполом[en] объясняется тем, что его можно рассматривать как двуугольный гиробикупол. Подобно тому, как другие правильные куполы имеют чередующиеся квадраты и треугольники, окружающие многоугольник в вершине (треугольник[en], квадрат или пятиугольник[en]), каждая половина гиробифастигиума состоит из чередующихся квадратов и треугольников, соединённых сверху ребром.

Соты[править | править код]

Повёрнутые треугольные призматические соты можно построить, упаковывая большое количество одинаковых гиробифастигиумов. Гиробифастигиум является одним из пяти выпуклых многогранников с правильными гранями, способными заполнить пространство (другие четыре — куб, усечённый октаэдр, треугольная и шестиугольная призмы), и единственное тело Джонсона с этим свойством[3] [4].

Бипризма Шмитта-Конвея-Данцера

Формулы[править | править код]

Следующие формулы для объёма и площади поверхности можно использовать, если все грани являются правильными многоугольниками с рёбрами длины a:

Топологически эквивалентные многогранники[править | править код]

Бипризма Шмитта-Конвея-Данцера[править | править код]

Бипризма Шмитта-Конвея-Данцера (называемая также протоплиткой SCD[7]) является многогранником, топологически эквивалентным гиробифастигиуму, но с параллелограммами и неправильными треугольниками в качестве граней вместо квадратов и правильных треугольников. Подобно гиробифастигиуму, этот многогранник может заполнить пространство, но только апериодически[en]* или с винтовой симметрией[en], а не с полной группой трёхмерной симметрии. Таким образом, этот многогранник даёт частичное решение трёхмерной задачи одной плитки[8][9].

Двойственный гиробифастигиуму
Бифастигиум

Связанные многогранники[править | править код]

Двойственный многогранник гиробифастигиума имеет 8 граней — 4 равнобедренных треугольника, соответствующих вершинам степени 3, и 4 параллелограмма, соответствующих вершинам степени 4.

Бифастигиум (дигональный ортобикупол[en]), подобно гиробифастигиуму, образован склеиванием двух равносторонних треугольных призм по боковой квадратной стороне, но без поворота. Он не является телом Джонсона, поскольку его треугольные грани копланарны (лежат в одной плоскости). Однако существует самодвойственный выпуклый многогранник с неправильными гранями, обладающий той же комбинаторной структурой. Этот многогранник имеет сходство с гиробифастигиумом в том, что они имеют по восемь вершин и восемь граней, с гранями, образующими пояс из четырёх квадратных граней, разделяющих две пары треугольников. Однако в двойственном гиробифастигиуме две пары треугольников повёрнуты относительно друг друга, а в бифастигиуме не повёрнуты.

Примечания[править | править код]

  1. Залгаллер, 1967, с. 21.
  2. Darling, 2004, с. 169.
  3. 1 2 Alam, Haas, 2006, с. 346–357.
  4. 1 2 Kepler, 2010, с. 146.
  5. Johnson, 1966, с. 169–200.
  6. Rich, 1875, с. 523–524.
  7. Forcing Nonperiodicity With a Single Tile Joshua E. S. Socolar and Joan M. Taylor, 2011
  8. Senechal, 1996, с. 209–213.
  9. Tiling Space with a Schmitt-Conway Biprism wolfram demonstrations

Литература[править | править код]

  • S. M. Nazrul Alam, Zygmunt J. Haas. Proceedings of the 12th Annual International Conference on Mobile Computing and Networking (MobiCom '06). — New York, NY, USA: ACM, 2006. — P. 346–357. — ISBN 1-59593-286-0. — DOI:10.1145/1161089.1161128.
  • Johannes Kepler. The Six-Cornered Snowflake. — Paul Dry Books, 2010. — ISBN 9781589882850. Сноска 18
  • David J. Darling. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. — John Wiley & Sons, 2004. — ISBN 9780471667001.
  • Norman W. Johnson. Convex polyhedra with regular faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18. — DOI:10.4153/cjm-1966-021-8.
  • Anthony Rich. Dictionary of Greek and Roman Antiquities / William Smith. — London: John Murray, 1875.
  • Marjorie Senechal. Quasicrystals and Geometry. — Cambridge University Press, 1996. — ISBN 9780521575416.
  • В. А. Залгаллер. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1967. — Т. 2.

Ссылки[править | править код]