Теорема Эйлера для многогранников

Теорема Эйлера для многогранников — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Формулировка

Пусть $\mathrm {B}$ — число вершин выпуклого многогранника, $\mathrm {P}$ — число его рёбер и $\Gamma$ — число граней. Тогда верно равенство

$\mathrm {B} -\mathrm {P} +\Gamma =2$

Примеры для правильных многогранников:

Правильный многогранник	Вершин (В)	Рёбер (Р)	Граней (Г)	В − Р + Г
Тетраэдр	04	06	04	2
Куб	08	12	06	2
Октаэдр	06	12	08	2
Додекаэдр	20	30	12	2
Икосаэдр	12	30	20	2

История

В 1620 году Рене Декарт показал, что сумма углов всех граней многогранника равна одновременно $360^{\circ }(\mathrm {P} -\Gamma )$ и $360^{\circ }(\mathrm {B} -2)$. Из этого непосредственно следует утверждение теоремы.

В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Более строгое доказательство дал Коши в 1811 г.

Долгое время считалось, что соотношение Эйлера справедливо для любых многогранников. Первый контрпример дал Симон Люилье в 1812 г.; при рассмотрении коллекции минералов он обратил внимание на прозрачный кристалл полевого шпата, внутри которого был чёрный кубический кристалл сернистого свинца. Люилье понял, что куб с кубической полостью внутри не подчиняется формуле Эйлера. Позже были обнаружены и другие контрпримеры (например, два тетраэдра, склеенные по ребру или имеющие общую вершину), и формулировка теоремы была уточнена: она верна для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Обобщения

• Эйлерова характеристика обобщает формулу Эйлера на многогранники с любым количеством дыр и даже, в более сложном виде, на топологические пространства.
• Формула Эйлера для связного плоского графа имеет тот же вид, однако применима к любым плоским графам, а не только к тем, которые могут быть каркасами многогранников в трёхмерном пространстве.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера