Теорема Эйлера для многогранников
Теорема Эйлера для многогранников — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.
Формулировка
[править | править код]Пусть — число вершин выпуклого многогранника, — число его рёбер и — число граней. Тогда верно равенство
Примеры для правильных многогранников:
Правильный многогранник |
Вершин (В) | Рёбер (Р) | Граней (Г) | В − Р + Г |
---|---|---|---|---|
Тетраэдр | 4 | 6 | 4 | 2 |
Куб | 8 | 12 | 6 | 2 |
Октаэдр | 6 | 12 | 8 | 2 |
Додекаэдр | 20 | 30 | 12 | 2 |
Икосаэдр | 12 | 30 | 20 | 2 |
История
[править | править код]В 1620 году Рене Декарт показал, что сумма углов всех граней многогранника равна одновременно и . Из этого непосредственно следует утверждение теоремы.
В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Более строгое доказательство дал Коши в 1811 г.
Долгое время считалось, что соотношение Эйлера справедливо для любых многогранников. Первый контрпример дал Симон Люилье в 1812 г.; при рассмотрении коллекции минералов он обратил внимание на прозрачный кристалл полевого шпата, внутри которого был чёрный кубический кристалл сернистого свинца. Люилье понял, что куб с кубической полостью внутри не подчиняется формуле Эйлера. Позже были обнаружены и другие контрпримеры (например, два тетраэдра, склеенные по ребру или имеющие общую вершину), и формулировка теоремы была уточнена: она верна для многогранников, топологически эквивалентных сфере[1].
Обобщения
[править | править код]- Эйлерова характеристика обобщает формулу Эйлера на многогранники с любым количеством дыр и даже, в более сложном виде, на топологические пространства.
- Формула Эйлера для связного плоского графа имеет тот же вид, однако применима к любым плоским графам, а не только к тем, которые могут быть каркасами многогранников в трёхмерном пространстве.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. — М.: Наука, 1967.