Теорема Эйлера для многогранников

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Эйлера для многогранников — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его рёбер и Г — число граней. Тогда верно равенство

История[править | править вики-текст]

В 1620 году Рене Декарт показал, что сумма углов всех граней многогранника равна одновременно 360º (Р — Г) и 360º (В — 2). Из этого непосредственно следует утверждение теоремы.

В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Более строгое доказательство дал Коши в 1811 г.

Долгое время считалось, что соотношение Эйлера справедливо для любых многогранников. Первый контрпример дал Симон Люилье в 1812 г.; при рассмотрении коллекции минералов он обратил внимание на прозрачный кристалл полевого шпата, внутри которого был чёрный кубический кристалл сернистого свинца. Люилье понял, что куб с кубической полостью внутри не подчиняется формуле Эйлера. Позже были обнаружены и другие контрпримеры (например, два тетраэдра, склеенные по ребру или имеющие общую вершину), и формулировка теоремы была уточнена: она верна для многогранников, топологически эквивалентных сфере[1].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. — М.: Наука, 1967.