Теорема Александрова о развёртке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Александрова о развёртке — теорема о существовании и единственности замкнутого выпуклого многогранника с данной развёрткой, доказанная Александром Даниловичем Александровым.[1] Единственность в этой теореме является обобщением теоремы Коши о многогранниках и имеет схожее доказательство.

Обобщение этой теоремы на произвольные метрики на сфере сыграло ключевую роль в становлении и развитии Александровской геометрии. Другое доказательство, основанное на деформации трёхмерного многогранного пространства, было предложено Ю. А. Волковым в его кандидатской диссертации 1955 года.[2]


Формулировка[править | править код]

Многогранная метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого многогранника тогда и только тогда, когда сумма углов при любой её вершине не превосходит . Более того, многогранник определяется метрикой на своей поверхности с точностью до конгруэнтности.

При этом допускается, что многогранник вырождается в плоский многоугольник, в этом случае поверхность многогранника определяется как удвоение многоугольника в его границе, то есть две копии многоугольника склеенные по соответствующим точкам границы.

Замечания[править | править код]

Развёртка октаэдра из четырёх шестиугольников.
  • В оригинальной формулировке Александров пользуется понятием развёртки многогранника на плоскости, то есть набора плоских многоугольников и правил склейки этих многоугольников в многогранную метрику. Одну из таких развёрток можно получить из набора всех граней многогранника с естественным правилом склейки. Однако в общем случае многоугольники развёртки могут перекрываться с несколькими гранями; смотри рисунок.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • (Теорема Александрова) Внутренняя метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого тела тогда и только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. При этом допускается, что тело вырождается в плоскую фигуру, в этом случае поверхность фигуры определяется как её удвоение.
    • (Теорема Погорелова) Более того, выпуклое тело определяется однозначно с точностью до конгруэнтности.
    • (Теорема Оловянишникова) Полная метрика на плоскости изометрична поверхности выпуклого множества только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. Более того конус на бесконечности можно задать произвольно при условии, что его граница изометрична конусу на бесконечности .

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. А. Д. Александров, Выпуклые многогранники. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.
  2. Ю. А. Волков. Существование многогранника с данной разверткой // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2018. — Т. 476. — С. 50—78.