Удлинённая четырёхугольная бипирамида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Удлинённая четырёхугольная бипирамида
Elongated square dipyramid.png
(3D-модель)
Тип многогранник Джонсона
Свойства выпукла
Комбинаторика
Элементы
12 граней
20 рёбер
10 вершин
Грани 8 треугольников
4 квадрата
Конфигурация вершины 2(34)
8(32.42)
Развёртка
Johnson solid 15 net.png
Классификация
Обозначения J15, М242
Группа симметрии D4h

Удлинённая четырёхуго́льная бипирами́да[1] — один из многогранников Джонсона (J15, по Залгаллеру — М242).

Составлена из 12 граней: 8 правильных треугольников и 4 квадратов. Каждая квадратная грань окружена двумя квадратными и двумя треугольными; каждая треугольная — одной квадратной и двумя треугольными.

Имеет 20 рёбер одинаковой длины. 4 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 8 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 8 — между двумя треугольными.

У удлинённой четырёхугольной бипирамиды 10 вершин. В 8 вершинах (расположенных как вершины куба) сходятся две квадратных грани и две треугольных; в остальных 2 — четыре треугольных.

Удлинённую четырёхугольную бипирамиду можно получить из трёх многогранников — куба и двух квадратных пирамид, все рёбра у которых одинаковой длины (J1), — приложив основания пирамид к двум противоположным граням куба.

Метрические характеристики[править | править код]

Если удлинённая четырёхугольная бипирамида имеет ребро длины , её площадь поверхности и объём выражаются как

В координатах[править | править код]

Удлинённую четырёхугольную бипирамиду с длиной ребра можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три из пяти осей симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три из пяти плоскостей симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Заполнение пространства[править | править код]

Замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений при помощи многогранников Джонсона J15 нельзя. Если, однако, немного деформировать удлинённую четырёхугольную бипирамиду, превратив равносторонние треугольники в равнобедренные с отношением сторон получим многогранник, изоморфный J15, для которого заполнение пространства становится возможным:

HC-J15.png

На иллюстрации копии многогранника окрашены в три разных цвета в соответствии с их различной ориентацией в пространстве.

В природе и культуре[править | править код]

В форме удлинённой четырёхугольной бипирамиды и близких к ней многогранников встречаются кристаллы циркона:

На гравюре Маурица Эшера «Звёзды» (1948) присутствует (у середины верхнего края) многогранник, изоморфный J15 — несколько «сжатый» так, что вместо квадратных граней у него прямоугольники.

Примечания[править | править код]

  1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 20.

Ссылки[править | править код]