Пентагональный икоситетраэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пентагональный икоситетраэдр
Pentagonalicositetrahedronccw.jpg
«Левый» вариант
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Pentagonalicositetrahedroncw.jpg
«Правый» вариант
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип каталаново тело
Свойства выпуклый, изоэдральный, хиральный
Комбинаторика
Элементы
24 грани
60 рёбер
38 вершин
Грани неправильные пятиугольники:
Грань пентагонального икоситетраэдра
Конфигурация вершины 8+24(53)
6(54)
Конфигурация грани V3.3.3.3.4
Развёртка
Pentagonalicositetrahedron net.png
Развёртка для «правого» варианта
Двойственный многогранник курносый куб
Классификация
Обозначения gC
Группа симметрии O (хиральная октаэдрическая)
Commons-logo.svg Пентагональный икоситетраэдр на Викискладе

Пентагона́льный икоситетра́эдр (от др.-греч. πέντε — «пять», γωνία — «угол», εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный курносому кубу. Составлен из 24 одинаковых неправильных пятиугольников.

Имеет 38 вершин. В 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся по 4 грани своими острыми углами; в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся по 3 грани теми тупыми углами, которые дальше от острого; в остальных 24 вершинах две грани сходятся своими тупыми углами, ближними к острому, и одна — тупым углом, дальним от острого.

У пентагонального икоситетраэдра 60 рёбер — 24 «длинных» и 36 «коротких».

В отличие от большинства других каталановых тел, пентагональный икоситетраэдр (наряду с пентагональным гексеконтаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «левом» и «правом».

Метрические характеристики и углы[править | править код]

При определении метрических свойств пентагонального икоситетраэдра приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных каталановых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому пентагональный икоситетраэдр, в отличие от большинства других каталановых тел, не допускает евклидова построения. То же верно и для пентагонального гексеконтаэдра, а также для двойственных им архимедовых тел.

Как и для курносого куба, при описании метрических свойств и углов пентагонального икоситетраэдра важную роль играет константа трибоначчи:

Грань пентагонального икоситетраэдра

Если три «коротких» стороны грани имеют длину , то две «длинных» стороны имеют длину

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их центрах вписанных окружностей) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

радиус окружности, вписанной в грань —

диагональ грани, параллельная одной из «коротких» сторон —

Описать около пентагонального икоситетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Все четыре тупых угла грани равны острый угол грани (между «длинными» сторонами) равен

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен

Ссылки[править | править код]